一个数论练习题

mathe

求$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$的所有正整数解。
http://tieba.baidu.com/f?kz=504267035

gxqcn

注：以下解法参考了楼主所给链接中的11楼思路，略有改进。

不妨设 $x >= y >= z >= 1$，
由 $x^2 | (x^3 + y^3 + z^3 )  => x^2 | ( y^3 + z^3 )$，故 $x^2 <= ( y^3 + z^3 ) <= 2 y^3$

$ n <= x^3 /(xy^3z^2) + y^3/(y^3z^3) + z^3/(y^3z^3)$

　$= x^2/(y^3z^2) + 1/z^3 +1/y^3$

　$<= (2y^3)/(y^3z^2) + 1/z^3 +1/z^3$

　$=2/z^2 + 2/z^3$

若 $z>=2$，则 $n <= 2/4 + 2/8 < 1$，故：$z = 1$



$ n = x /y^2 + y/x^2 +1/(x^2y^2)$

　$<= sqrt{y^3+z^3}/y^2 + y/y^2 +1/(y^2y^2)$

　$= sqrt{1/y +1/y^4} + 1/y +1/y^4$

若 $y>=3$，则 $1/y +1/y^4 <= 1/3 + 1/81 < 1/2 => n <= 1/4 + 1/2 < 1$，所以：$y=1 or 2$


继续利用：$x^2 | ( y^3 + z^3 ) and x>=y$
当 $y=1, z=1$ 时，$x^2 | 2 => x=1 => n=3$；
当 $y=2, z=1$ 时，$x^2| 9 => x=3 => n=1$；


所以仅有两组正整数解：$(x, y, z, n) = ( 1, 1, 1, 3 ) or ( 3, 2, 1, 1 )$
若解除事先假定的 $x >= y >= z$，则可再增加 5 组整数解。