证明一个圆锥截块的体积公式

TSC999

一个正圆锥的高为 \(  h \)，底半径为  \( R \)，用一个垂直于底面、并且到圆锥轴线 \( AO \) 的距离为  \( d \) 的平面来截这个圆锥，如下图。
证明所截得的较小的那一块体积是： \[ V= \frac{h}{3}(R^2\arctan\frac{\sqrt{R^2-d^2}}{d}+ \frac{d^3}{R}\log\frac{R+\sqrt{R^2-d^2}}{d}-2d\sqrt{R^2-d^2})  \]

kastin

底圆半径 `r` 随高度从 `R` 线性减小到零，可知满足 `R/h=r/(h-z)`，于是 `z=h-rh/R`，因此弓形面积为$$S(r)=r^2\arccos\frac{d}{r}-d\sqrt{r^2-d^2}$$因为$$\dif V = S(r)\dif z=-\frac{h}{R}\left(r^2\arccos\frac{d}{r}-d\sqrt{r^2-d^2}\right)\dif r$$从而$$V=\int_R^dS(r)\dif r=\frac{h}{R}\int_d^R r^2\arccos\frac{d}{r}-d\sqrt{r^2-d^2}\dif r=\frac{h}{3R}\left(R^3\arccos\frac{d}{R}-d^3\ln\frac{d}{R+\sqrt{R^2-d^2}}-2Rd\sqrt{R^2-d^2 }\right)$$与楼主的结果等价。

1. h/R Integrate[r^2 ArcCos[d/r] - d Sqrt[r^2 - d^2], {r, d, R},
   
2.   Assumptions -> R > d > 0]

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