求数列的通项公式

TSC999 · 发表于 2016-12-24 12:35:48

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已知某数列的第 $ n $ 项 $ a_n $ 的值与其前 $ n $ 项之和的值 $ S_n $ 有如下关系：

$ a_n=\frac{1}{2}(S_n+\frac{1}{S_n}) $

求通项 $ a_n $ 的表达式。

此问题从【数学中国】网站转来。据说是一位台湾网友出的题目。那个网站还没有人做出来，我也不会做。

mathe · 发表于 2016-12-24 14:29:38

加一个条件$a_n>0$吧，不然解不唯一。
然后设$S_n=\ctg(b_n)$即可容易求得$b_n=\frac{\pi}{2^{n+1}}$
于是$a_n=ctg(\frac{\pi}{2^{n+1}})-ctg(\frac{\pi}{2^n})$

zeroieme · 发表于 2016-12-25 13:21:06

是啊，每步都是二次方程，数列分叉

葡萄糖 · 发表于 2017-2-20 01:47:27

链接里都有

http://lanqi.org/everyday/17887/
$\displaystyle \theta_n=\dfrac{\pi}{2^{n+1}}$
$\displaystyle S_n=\dfrac{\sqrt 3}2\cot\theta_n-\dfrac 12$
$\displaystyle a_n=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot\left(\dfrac{1}{\tan \theta_n}-\dfrac{1}{\tan 2\theta_n}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2\cdot \dfrac{1}{\sin 2\theta_n}=\dfrac{\sqrt 3}{2\sin{\dfrac{\pi}{3\cdot 2^{n-1}}}}$

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