空心三棱锥的内切球问题

TSC999

设想有一个顶点朝下的、没有底面的、由三块薄钢板焊成的空心三棱锥 \( S-ABC \)，\( S \)  是其顶点，\( SA、SB、SC \) 可以看作是从顶点引出的不在同一平面上的三条射线。已知 \(∠ASB=30°，∠BSC=40°，∠CSA=50°  \)。
由于这个三棱锥没有底面、并且是空心的，如果把一个小球扔进去，小球将会下落到与三棱锥的三个内表面相切。
（1）第一个问题：如果小球的直径是\( 100\) 毫米，试问：球面与三棱锥的三个内表面相切后，球心到三棱锥的顶点 \( S \)  的距离是多少？
（2）第二个问题：如果往这个空心三棱锥里面放进直径不同的球，就会在三棱锥的三个内表面上留下切点的轨迹。这些轨迹也是三条射线，记作 \( SD、SE、SF \) 。这三条射线交汇在  \( S \)  点，构成了另一个较小的三棱锥。
试问：这个新三棱锥的三个面角 \(∠DSE、∠ESF、∠FSD  \) 各是多少？并证明其中有一个面角恰为 \( 20° \)。

hejoseph

设球心为 \(I\)，球半径为 \(r\)，\(\angle BSC=\alpha\)，\(\angle CSA=\beta\)，\(\angle ASB=\gamma\)，用三面角第一余弦定理可求得三面角 \(S\text{-}ABC\) 的三个二面角，不妨设点 \(D\) 在平面 \(BSC\) 内，点 \(E\) 在平面 \(CSA\) 内，点 \(F\) 在平面 \(ASB\) 内，点 \(D\) 到射线 \(SB\)、\(SC\) 的垂足分别为 \(P\)、\(Q\)，则利用二面角大小可求得 \(DP\)、\(DQ\) 的长度，再用三角形外接圆半径公式可求得 \(SD\)，这样就能求得 \(IS\)，这样三面角 \(S\text{-}DEF\) 的面角也容易求出。
最后的结论
\begin{align*}
IS &=r\sqrt{\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma+2\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma+2\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma+2\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma}{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}} \\
\sin\frac{\angle ESF}{2}&=\sin\frac{-\alpha+\beta+\gamma}{2}\sqrt{\frac{\cos(\beta-\gamma)-\cos\alpha}{2\sin\beta\sin\gamma}} \\
\sin\frac{\angle FSD}{2}&=\sin\frac{\alpha-\beta+\gamma}{2}\sqrt{\frac{\cos(\alpha-\gamma)-\cos\beta}{2\sin\alpha\sin\gamma}} \\
\sin\frac{\angle DSE}{2}&=\sin\frac{\alpha+\beta-\gamma}{2}\sqrt{\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta}}
\end{align*}

hejoseph

对于具体的角度，代入上述算式计算下就行，当然还需要一些三角化简的技巧
\(\alpha=30^\circ\)，\(\beta=40^\circ\)，\(\gamma=50^\circ\)，则
\begin{align*}
\sin\frac{\angle ESF}{2}&=\sin 30^\circ\sqrt{\frac{\cos 10^\circ-\cos 30^\circ}{2\sin 40^\circ\sin 50^\circ}}\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2\sin 10^\circ\sin 20^\circ}{2\sin 40^\circ\cos 40^\circ}}\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4\sin^2 10^\circ\cos 10^\circ}{\sin 80^\circ}}\\
&=\sin 10^\circ
\end{align*}

TSC999

解答者是不是何老何校长呀？《立体几何技巧与方法》的作者？
这个题目是我几年前出的，但是我没能给出公式解答，只是用笨办法求出了数字解答。

hejoseph

TSC999 发表于 2016-12-26 16:22
解答者是不是何老何校长呀？《立体几何技巧与方法》的作者？
这个题目是我几年前出的，但是我没能给出公式 ...

是的，但是我不是校长，也不很老了，叫我姓名就行。
书名我不是太满意，因为里面并没讲什么技巧，不过出版社的事我就不管了，我只要求他们不要重新排版，因为我看过他们排版的书太难看。