几个三角公式

TSC999

以下这几个三角公式，估计早有人研究过，但是数学手册中又难以查到。因此且说是“原创”的吧。
以下公式中，\( n、k \) 均为自然数。
当 \( n \) 为奇数时：
\begin{equation}\cos^n\theta=\frac{1}{2^{n-1}}\left\{\cos n\theta+C^1_n\cos(n-2)\theta+C^2_n\cos(n-4)\theta+\cdots+C^{\frac{n-1}{2}}_n\cos\theta \right\}\end{equation}

当 \( n \) 为偶数时：
\begin{equation}\cos^n\theta=\frac{1}{2^{n-1}}\left\{C^{\frac{n-2}{2}}_{n-1}+\cos n\theta+C^1_n\cos(n-2)\theta+C^2_n\cos(n-4)\theta+\cdots+C^{\frac{n-2}{2}}_n\cos2\theta\right\}\end{equation}

例如：

\( \cos^2\theta=\frac{1}{2}(C^0_1+C^0_2\cos2\theta )=\frac{1}{2}(1+\cos2\theta ) \)

\( \cos^3\theta=\frac{1}{2^{2}}(\cos3\theta+C^1_3\cos\theta)=\frac{1}{4}(\cos3\theta+3\cos\theta) \)

\( \cos^4\theta=\frac{1}{2^{3}}(C^1_3+\cos4\theta+C^1_4\cos2\theta ) =\frac{1}{8}(3+\cos4\theta+4\cos2\theta ) \)

\( \cos^5\theta=\frac{1}{2^{4}}(\cos5\theta+C^1_5\cos3\theta+C^2_5\cos\theta )=\frac{1}{16}(\cos5\theta+5\cos3\theta+10\cos\theta ) \)

\( \cos^6\theta=\frac{1}{2^{5}}(C^2_5+\cos6\theta+C^1_6\cos4\theta+C^2_6\cos2\theta ) =\frac{1}{32}(10+\cos6\theta+6\cos4\theta+15\cos2\theta )\)

\( \cos^7\theta=\frac{1}{2^{6}}(\cos7\theta+C^1_7\cos5\theta+C^2_7\cos3\theta+C^3_7\cos\theta )=\frac{1}{64}(\cos7\theta+7\cos5\theta+21\cos3\theta+35\cos\theta ) \).

TSC999

当 \( n \) 为奇数时：
\begin{equation}\sin^n\theta=\frac{{(-1)^\frac{n-1}{2}}}{2^{n-1}}\left(\sin n\theta-C^1_n\sin(n-2)\theta+C^2_n\sin(n-4)\theta-\cdots+(-1)^\frac{n-1}{2}C^{\frac{n-1}{2}}_n\sin\theta\right)\end{equation}

例如：

\( \sin^3\theta=\frac{{(-1)^\frac{2}{2}}}{2^{2}}(\sin3\theta-C^1_3\sin\theta)=-\frac{1}{4}(\sin3\theta-3\sin\theta) \)

\( \sin^5\theta=\frac{{(-1)^\frac{4}{2}}}{2^{4}}(\sin5\theta-C^1_5\sin3\theta+C^2_5\sin\theta) =\frac{1}{16}(\sin5\theta-5\sin3\theta+10\sin\theta)\)

\( \sin^7\theta=\frac{{(-1)^\frac{6}{2}}}{2^{6}}(\sin7\theta-C^1_7\sin5\theta+C^2_7\sin3\theta-C^3_7\sin\theta )=- \frac{1}{64}(\sin7\theta-7\sin5\theta+21\sin3\theta-35\sin\theta )\)

TSC999

当 \( n \) 为偶数时：
\begin{equation}\sin^n\theta=\frac{C^{\frac{n}{2}}_n}{2^n}+ \frac{(-1)^\frac{n}{2}}{2^{n-1}}\left(\cos n\theta-C^1_n\cos (n-2)\theta+C^2_n\cos (n-4)\theta-\cdots+(-1)^\frac{n-2}{2}C^{\frac{n-2}{2}}_n\cos 2\theta \right)\end{equation}

\( \sin^2\theta=\frac{C^1_2}{2^2}- \frac{1}{2^{1}}(\cos 2\theta)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2\theta \).

\( \sin^4\theta=\frac{C^2_4}{2^4}+ \frac{1}{2^{3}}(\cos 4\theta-C^1_4\cos 2\theta )=\frac{3}{8}+ \frac{1}{8}(\cos 4\theta-4\cos 2\theta ) \).

\( \sin^6\theta=\frac{C^3_6}{2^6}- \frac{1}{2^{5}}(\cos 6\theta-C^1_6\cos 4\theta+C^2_6\cos 2\theta )=\frac{5}{16}- \frac{1}{32}(\cos 6\theta-6\cos 4\theta+15\cos 2\theta ) \)

\( \sin^8\theta=\frac{C^4_8}{2^8}+ \frac{1}{2^{7}}(\cos 8\theta-C^1_8\cos 6\theta+C^2_8\cos 4\theta-C^3_8\cos 2\theta )=\frac{35}{128}+ \frac{1}{128}(\cos 8\theta-8\cos 6\theta+28\cos 4\theta-56\cos 2\theta ) \)

gxqcn

我在一本电子书查到了下列公式：
[倍角公式]\begin{align}
\sin n\alpha &=n\cos^{n-1}\alpha\sin\alpha-C_n^3\cos^{n-3}\alpha\sin^3\alpha+C_n^5\cos^{n-5}\alpha\sin^5\alpha-\cdots \\
\cos n\alpha &=\cos^n\alpha-C_n^2\cos^{n-2}\alpha\sin^2\alpha+C_n^4\cos^{n-4}\alpha\sin^4\alpha-C_n^6\cos^{n-6}\alpha\sin^6\alpha+\cdots
\end{align}
[降幂公式]\begin{align}
\sin^{2n}\alpha &=\frac{1}{2^{2n-1}}\left[\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k}C_{2n}^k\cos(2n-2k)\alpha+\frac{1}{2}C_{2n}^n\right] \\
\cos^{2n}\alpha &=\frac{1}{2^{2n-1}}\left[\sum_{k=0}^{n-1}C_{2n}^k\cos(2n-2k)\alpha+\frac{1}{2}C_{2n}^n\right] \\
\sin^{2n+1}\alpha &=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}C_{2n+1}^k\sin(2n-2k+1)\alpha \\
\cos^{2n+1}\alpha &=\frac{1}{2^{2n}}\sum_{k=0}^{n}C_{2n+1}^k\cos(2n-2k+1)\alpha
\end{align}

wayne

这些公式都是一个模式，好像都可以通过 将 $(cos(\alpha)+i sin(\alpha))^n$进行牛顿二项式展开 ，结合三角变换，实部虚部对应，递归等等，导出来