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[提问] 无限长的曲线包围一块无限大的面积

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发表于 2016-12-31 23:47:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有限长的曲线包围一块无限大的面积,根据等周不等式,不可能,
无限长的曲线包围一块有限大的面积,还是有可能的。(各种分形图案及其他)
无限长的曲线包围一块无限大的面积,是不是可能的呢?
仅仅考虑平面上,约当曲线。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-1-1 16:25:15 | 显示全部楼层
抛物线作为椭圆的极限情况
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-1-1 21:08:30 | 显示全部楼层
面积无限必然无界,所以不可能约当曲线
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-1-2 09:57:04 | 显示全部楼层
这个如果平面上就没法扩展了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-2-10 15:58:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2017-2-10 16:06 编辑

考虑一个曲线\(y=f(x)\),使得曲线与\(x\)轴围成的面积\(S=\displaystyle\int_a^{b}f(x)\dif{x}\)发散,\(L=\displaystyle\int_a^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\dif{x}\)也发散就OK啦!
如:\(\color{black}{S_1=\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\dif{x}}\)和\(\color{black}{L_1=\displaystyle\int_1^{+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\dif{x}}\)均\(\color{red}{发散}\)!
无穷限积分是可以的,瑕积分发散也可以!
如:\(\color{black}{S_2=\displaystyle\int_0^1\frac{1}{x}\dif{x}}\)和\(\color{black}{L_2=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}\dif{x}}\)均\(\color{red}{发散}\)!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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