这个函数能确定到什么程度？

manthanein

给定函数\(y=f(x)\)，满足：
（1）定义域为\((-\infty,+\infty)\)。
（2）恒大于0。
（3）对任意满足\(a \lt b\)的\((a,b)\)，\(\abs{f(a)-f(b)} \lt b-a \lt f(a)+f(b) \)

manthanein

\(\abs{f(a)-f(b)}\)
\(\lt b-a\)
\(\lt f(a)-f(\D \frac{a+b}{2})+f(\D \frac{a+b}{2})+f(b)\)
\(\le \abs{ f(a)-f(\D \frac{a+b}{2})}+\abs{f(\D \frac{a+b}{2})+f(b)}\)
\(\le \D \frac{b-a}{2}+f(\D \frac{a+b}{2})+f(b)\)

咻咻

解非常多吧。。。 比如 f(x) = 1 + |x| + 1/(1+|x|)

mathe

题目要求对于任意$a<b$有$f(a)-f(b)<b-a,f(b)-f(a)<b-a,b-a<f(a)+f(b)$
也就是$a+f(a)<b+f(b), a-f(a)<b-f(b), b-f(b)<a+f(a)$
也就是说函数$u(x)=x+f(x),v(x)=x-f(x)$都是严格单调增函数，而且$v(x)$的上界不大于$u(x)$的下界，此外$u(x)+v(x)=2x$
于是我们需要设计一个严格单调递增的函数它具有严格上界$v_0$也就是$\lim_{x->+\infty}v(x)=v_0$,而且$\lim_{x->-\infty}(2x-v(x))=u_0$,其中$u_0>=v_0$,
也就是要求选择严格单调增的函数$v(x)$在x趋向负无穷时极限行为接近$2x-u_0$，而$\lim_{x->+\infty}v(x)=v_0<=u_0$,而且$v(x)$任意一处增长速率不超过2,
也就是这个严格单调增函数$v(x)$有两条渐近线$y=v_0$和$y=2x-u_0$,其中在$x->+\infty$时靠近第一条渐近线，在$x->-\infty$时靠近第二条渐近线,
另外我们需要添加一个$v(x)<=x$的额外约束使得结果$f(x)$能够满足$f(x)>=0$,以及任何一点导数不超过2（如果不连续，要求左右导数都不大于2）
对于任意的这样函数$v(x)$,取$f(x)=x-v(x)$即满足题目条件。

mathe

在f的导数存在而且连续的情况下分析$f'(x)$比较容易。要求$f'(+infty)=1,f'(-infty)=-1,|f'(x)|<=1$,比如取$f'(x)=\frac{2}{pi}arctan(x)$,积分后常数部分充分大即可,