喝水问题

aimisiyou

一水杯底部半径/r,顶部半径/R,高度/H,杯内有深度为/h的水，水杯倾斜多少水才会流出？

倪举鹏

思路：求斜切圆锥的椭圆方程与椭圆面积函数，通过这个面积函数积分出斜切圆锥的体积函数，减去正圆锥体积就是那个体积，等于左边体积解方程。分两种情况。水多与水少的情况

aimisiyou

倪举鹏 发表于 2017-2-15 20:44
思路：求斜切圆锥的椭圆方程与椭圆面积函数，通过这个面积函数积分出斜切圆锥的体积函数，减去正圆锥体积就 ...

\(仅考虑水平面为椭圆情况，能否给出转角\theta表达式？\)

倪举鹏

轴线与水平面夹角phi，半顶角theta，斜锥体积如果没有算错：-(1/6)*a^3*Pi*sin(phi)^3*sin(theta)*(sin(phi+theta)*cos(-phi+theta)+sin(-phi+theta)*cos(phi+theta))/(sqrt(-cos(phi)^2+cos(theta)^2)*sin(-phi+theta)*sin(phi+theta))

happysxyf

如果仅考虑水平面为椭圆的情况，那么此题就过于简单了，根据祖暅定理，切面就是一堆半轴线性递增的椭圆，所以切面函数S(h)=kπ*h^2;
对切面函数积分即为此时斜截圆台体的体积，h=(sinθ)^3*((R-r)^2+H^2)^(3/2)*k*π/3, 其中θ为贴角，就是桶下界面与地面的贴角，k是一个比例常数，根据R和r的值确定。