这个代数式与三角恒等式,究竟有没有关系?

mathematica

\[\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=-\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a}\]
有个三角恒等式是 \[\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C\]

我感觉这两者应该有关系，可是为什么会相差一个符号呢？

大家可以用

1. FullSimplify[(a - b)/(a + b) + (-a + c)/(a + c) + (b - c)/(b + c) + ((a - b) (b - c) (-a + c))/((a + b) (a + c) (b + c))]

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mathe

第一式是关于任意三个互不为相反数的实数的恒等式, 与三角形毫无关系。

葡萄糖

具体也不清楚，不知道这些有没有帮助？
由正切定理，三边为\(a\)，\(b\)，\(c\)的\(\triangle ABC\)有：
\(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}=\frac{\displaystyle\tan{\frac{A-B}{2}}}{\displaystyle\tan{\frac{A+B}{2}}}=\frac{\sin{A}-\sin{B}}{{\sin{A}+\sin{B}}}\)

\(\displaystyle\frac{b-c}{b+c}=\frac{\displaystyle\tan{\frac{B-C}{2}}}{\displaystyle\tan{\frac{B+C}{2}}}=\frac{\sin{B}-\sin{C}}{{\sin{B}+\sin{C}}}\)

\(\displaystyle\frac{c-a}{c+a}=\frac{\displaystyle\tan{\frac{C-A}{2}}}{\displaystyle\tan{\frac{C+A}{2}}}=\frac{\sin{C}-\sin{A}}{{\sin{C}+\sin{A}}}\)

\(n\in \mathbb{Z}\)，则\(\triangle ABC\)有：
\(\tan{(nA)}+\tan{(nB)}+\tan{(nC)}=\tan{(nA)}\tan{(nB)}\tan{(nC)}\)

hujunhua

既然相差一个符号，那便是没有关系喽。
但是，可以利用虚数单位将符号强行搞到一致。\[\text{i}\frac{a-b}{a+b}+\text{i}\frac{b-c}{b+c}+\text{i}\frac{c-a}{c+a}=\text{i}\frac{a-b}{a+b}\cdot\text{i}\frac{b-c}{b+c}\cdot\text{i}\frac{c-a}{c+a}\]
如果说有什么关系的话，那就是你可以将约束\(A+B+C=k\pi\)参数化: \[\tan C=\text{i}\frac{a-b}{a+b},\tan A=\text{i}\frac{b-c}{b+c},\tan B=\text{i}\frac{c-a}{c+a}\]从而甩掉约束式。不过，这显然不是一个好的参数表达式。

mathematica

hujunhua 发表于 2017-2-22 21:05
既然相差一个符号，那便是没有关系喽。
但是，可以利用虚数单位将符号强行搞到一致。\[\text{i}\frac{a-b} ...

我也觉得有关系!!!!!!!!!!!!!!!!
你的看法给出了一点关系!!!!!!!!!!!!

hujunhua

由欧拉公式\(\text{e}^{i2\pi}=1\)可知, 任意3个非零数\(a,b,c\), 总存在\[A+B+C=\pi, \\\text{e}^{i2A}=\text{e}^{iA}/\text{e}^{-iA}=b/c,\\\text{e}^{i2B}=\text{e}^{iB}/\text{e}^{-iB}=c/a,\\\text{e}^{i2C}=\text{e}^{iC}/\text{e}^{-iC}=a/b.\]
当两两之和非的零时，由合分比公式立得\[\frac{\text{e}^{iA}-\text{e}^{-iA}}{\text{e}^{iA}+\text{e}^{-iA}}=\frac{b-c}{b+c}\\\cdots\\\cdots\]再联系\[\tan{A}=\frac1i\frac{\text{e}^{iA}-\text{e}^{-iA}}{\text{e}^{iA}+\text{e}^{-iA}}\]即可看到两者在逻辑链上的关系。

mathematica

hujunhua 发表于 2017-2-23 16:23
由欧拉公式\(\text{e}^{i2\pi}=1\)可知, 任意三个互不相等的非零实数\(a,b,c\), 总存在\[A+B+C=\pi, \\\tex ...

为什么是1/i,而不是i*(b-c)/(b+c), 感觉与上面的矛盾!

mathematica

\[\\\text{e}^{i2A}=\text{e}^{iA}/\text{e}^{-iA}=b/c\]
这个地方,有一个隐含的要求,也就是b*c=1,因为\[\text{e}^{iA}*\text{e}^{-iA}=1\]

mathematica

hujunhua 发表于 2017-2-23 16:23
由欧拉公式\(\text{e}^{i2\pi}=1\)可知, 任意三个互不相等的非零实数\(a,b,c\), 总存在\[A+B+C=\pi, \\\tex ...

\[\tan C=\text{i}\frac{a-b}{a+b},\tan A=\text{i}\frac{b-c}{b+c},\tan B=\text{i}\frac{c-a}{c+a}\]
这三个方程组成的方程组,似乎是无解的,
我用mathematica反求a,b,c的表达式,没有算出结果来

hujunhua

@kastin 若a,b,c为实数, A,B,C当然是复数, 而且限于纯虚数.
所以6#的漏洞在于\(A+B+C=\pi\), 改成\(A+B+C=0\)就行了吧, 前面那句“由欧拉公式……”就不用了.