求数列通项公式

northwolves

数列1: \[a_1=1, a_{n+1}=a_n^2+1\]数列2: \[a_1=2, a_{n+1}=a_n^2-1\]数列3:  \[(n+1)\cdot a_1+(n+1)n\cdot a_2+(n+1)n(n-1)\cdot a_3+...+(n+1)!\cdot a_n=n\]
数列4:\[a_1=a_2=1,a_3=0,a_4=1,a_5=4,a_4=6\\a_n=a_{n-3}+3a_{n-4}+3a_{n-5}+a_{n-6}(n\gt6)\]

mathe

这个有答案吗？ 后两个应该挺常规的题目， 不过前两个挺难，我想不出来

northwolves

不过前两个挺难，我想不出来

数列3:\[a_n=((n-1)^2+1)^2+1\]
数列4 怎么解？

northwolves

供参考

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003095

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003096

mathe

你给的应该是数列3的通项公式了。
数列4是个普通的线性递推式，所以有通用的解法
简单说，对于递推式
a(n+k)=u(k)*a(n+k-1)+u(k-1)*a(n+k-2)+...+u(1)*a(n)
我们通过解方程
x^k=u(k)*x^(k-1)+...+u(2)*x+u(1)
得到解x1,x2,...,xk
如果这些解都不同，那么通解形式就是
v(1)*x1^n+v(2)*x2^n+...+v(k)*xk^n
其中v(1),v(2),...,v(k)是待定系数
如果其中有些解相同，那么形式稍微变换一下
比如x1=x2=x3，那么它们对应的项改为
(v(1)+v(2)n+v(3)n^2)*x1^n

mathe

看结果应该是数列(1)没有发现好的通项公式。 数列(2)的结果实在难发现，不过知道结果后证明倒应该不难

mathe

根据链接，数列(1)有渐近式
c^(2^n) 其中c=1.2259024435287485386279474959130085213...
而c的计算公式显然是从
pow(a(n),2^(-n))在n很大时候的极限。
不知道是否有人可以数值计算一下，这个渐近式有多好。
如果能够对于充分大的n,可以表示成上面渐近式的取整就好了。

kastin

c=1.502836301...
问题1的“形式解”可以写成Floor($c^{2^n}$)，见http://mathworld.wolfram.com/QuadraticMap.html
同理问题2通项可以写成Ceilling($b^{2^{n+1}}$)
b=1.2955535361865325413981559700593353...

wayne

kastin 发表于 2013-12-12 00:39
c=1.502836301...
问题1的“形式解”可以写成Floor($c^{2^n}$)，见http://mathworld.wolfram.com/Quadrati ...

二次映射？
不错，链接非常有价值！

从这些参数的解析表达来看，貌似都是无穷乘积 推倒出来的。

kastin

wayne 发表于 2013-12-12 09:57
二次映射？
不错，链接非常有价值！

关键是初值给的比较恰当，使得数列始终是递增的，由于n-->inf时候，$a_n^2\pm1$与$a_n^2$是没有区别的，所以可以认为有个底数c近似满足$c^{2^n}$的关系。