求这个积分的最简单实表达式

zeroieme

\[\int \frac{x^{2/5}}{x+1} \, \dif x\]
Mathematica积出一坨，我简化得到
\(\dfrac{5 x^{2/5}}{2}+\log (\sqrt[5]{x}+1)+(-1)^{2/5} \log (\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{-1})+(-1)^{4/5} \log \left(\sqrt[5]{x}+(-1)^{2/5}\right)-\sqrt[5]{-1} \log \left(\sqrt[5]{x}-(-1)^{3/5}\right)-(-1)^{3/5} \log \left(\sqrt[5]{x}+(-1)^{4/5}\right)+C\)
有简单的实函数表达式吗？

wayne

用Mathematica 11.0.0 计算得到

zeroieme

wayne 发表于 2017-2-25 14:39
用Mathematica 11.0.0 计算得到
\(\frac{1}{4} \left(10 x^{2/5}-\left(\sqrt{5}+1\right) \left(\left(x^ ...

复制结果乱了，log和tan....。希望调整一下。

wayne

跟你的表达不同的地方 在于 没有 负数的指数

zeroieme

嗯，我的Mathematica算出也是这坨
然后发现\(\log \left(x^{2/5}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt[5]{x}+1\right)\)，\(\log \left(x^{2/5}-\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right) \sqrt[5]{x}+1\right)\)和\(\log \left(\sqrt[5]{x}+1\right)\)能凑成\(\log (x+1)\)，进一步，各函数它们都跟\(y^5-1\)根有关系。
所以就从那坨开始展开、拼凑，结果得到本话题的式子。
实数化只能又回到Mathematica的结果吗？

wayne

zeroieme 发表于 2017-2-25 15:01
嗯，我的Mathematica算出也是这坨
然后发现\(\log \left(x^{2/5}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) \s ...

Mathematica 号称可以将表达式以最简单的形式 呈现出来。 (表达式的复杂度是根据 其LeafCount，树的叶子结点的个数来量化的。)
所以，如果Mathematica 是名副其实的话，估计是不会有更简洁的结果了

zeroieme

wayne 发表于 2017-2-25 19:00
Mathematica 号称可以将表达式以最简单的形式 呈现出来。 (表达式的复杂度是根据 其LeafCount，树的叶 ...

毕业那会对Mathematica的各种号称还是很崇拜的。近2年频繁使用的体验只能呵呵了。

mathematica

\[\frac{1}{4} \left(10 x^{2/5}-\left(\sqrt{5}+1\right) \log \left(x^{2/5}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right) \sqrt[5]{x}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(x^{2/5}-\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}+1\right) \sqrt[5]{x}+1\right)+4 \log \left(\sqrt[5]{x}+1\right)+2 \sqrt{2 \left(\sqrt{5}+5\right)} \tan ^{-1}\left(\frac{-4 \sqrt[5]{x}+\sqrt{5}+1}{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\right)+2 \sqrt{10-2 \sqrt{5}} \tan ^{-1}\left(\frac{4 \sqrt[5]{x}+\sqrt{5}-1}{\sqrt{2 \left(\sqrt{5}+5\right)}}\right)\right)\]

mathematica

mathematica 发表于 2017-2-26 13:29
\[\frac{1}{4} \left(10 x^{2/5}-\left(\sqrt{5}+1\right) \log \left(x^{2/5}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{5} ...

我得到的是上面的积分结果

chyanog

类似1楼的结果可以这样得到

1. Integrate[x^n/(x + 1), x] /. n -> 2/5 // FunctionExpand // Simplify

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