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[转载] 尺规作正十七边形及其证明

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发表于 2008-11-27 22:29:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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步骤一:
给一$o.O$,作两垂直的直径OA、OB, 在OB上作C点使OC=1/4OB,作D点使∠OCD=1/4∠OCA ,作AO延长线上E点使得∠DCE=45°

步骤二:
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点, 此圆交OB于F点,再以D为圆心,作一圆 ,过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。

步骤三:
过G4作OA垂直线交$o.O$于P4, 过G6作OA垂直线交$o.O$于P6, 则以$o.O$为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,P4为第四顶点,P6为第六顶点。
以1/2弧P4P6为半径,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

备注一
一个正质数多边形可以用标尺作图的充分和必要条件是,该多边形的边数必定是一个费马质数。换句话说,只有正三边形、正五边形、正十七边形、正257边形和正63357边形可以用尺规作出来,其它的正质数多边形就不可以了。(除非我们再发现另一个费马质数。)

备注二
黎西罗给出了正257边形的尺规作法,写满了整整80页纸。盖尔梅斯给出了正63357边形的尺规作法,此手稿整整装满了一只手提箱,现存于德国哥廷根大学。这是有史以来最繁琐的尺规作图。

备注三
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为$\theta$,则$17\theta=2\pi$,即$16\theta=2\pi-\theta$
故$sin16\theta=-sin\theta$,而
$sin16\theta=2sin8\thetacos8\theta=2^2sin4\thetacos4\thetacos8\theta=2^4 sin\thetacos\thetacos2\thetacos4\thetacos8\theta$
因$sin\theta!=0$,两边除之有:
$16cos\thetacos2\thetacos4\thetacos8\theta=-1$
又由$2cos\thetacos2\theta=cos\theta+cos3\theta$等,有
$2(cos\theta+cos2\theta+…+cos8\theta)=-1$
注意到 $cos15\theta=cos2\theta,cos12\theta=cos5\theta$,令
$x=cos\theta+cos2\theta+cos4\theta+cos8\theta$
$y=cos3\theta+cos5\theta+cos6\theta+cos7\theta$
有:
$x+y=-1/2$
又$xy=(cos\theta+cos2\theta+cos4\theta+cos8\theta)(cos3\theta+cos5\theta+cos6\theta+cos7\theta)$
$=1/2(cos2\theta+cos4\theta+cos4\theta+cos6\theta+…+cos\theta+cos15\theta)$
经计算知$xy=-1$
又有
$x=(-1+sqrt17)/4,y=(-1-sqrt17)/4$
其次再设:$x_1=cos\theta+cos4\theta,x_2=cos2\theta+cos8\theta$
$y_1=cos3\theta+cos5\theta,y_2=cos6\theta+cos7\theta$
故有$x_1+x_2=(-1+sqrt17)/4$
$y_1+y_2=(-1-sqrt17)/4$
解之可有: (大家自己解解吧~~~~)
最后,由$cos\theta+cos4\theta=x_1,cos\thetacos4\theta=(y_1)/2$
可求$cos\theta$之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-11-28 08:07:01 | 显示全部楼层
刚才帮楼主重新排版了下(仅仅是用TeX数学公式排版,内容不变)。

另提醒:既然是转载,最好是给出出处。
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发表于 2008-11-28 11:24:21 | 显示全部楼层
这个问题在我上大学的时候有一本书专门讲怎么解开257边形的
非常可惜
特别可惜
当时应该复印下来

用的是群的方法
具体是
假设$x = sin( 2*pi / 257)$
那么
$x^257 - 1 = 0$
$x^256 + x^255 + ... + x + 1 = 0$
逐步的二分组直到求出x
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发表于 2013-12-25 14:04:14 | 显示全部楼层
我从网上找到一个动画,由于比较大,就放在研发网的空间了:

点评

数学研发网 http://www.emath.ac.cn/  发表于 2014-1-25 18:45
研发网的空间??在哪儿?  发表于 2014-1-25 14:51
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发表于 2014-1-28 18:24:10 | 显示全部楼层
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAnglesPi17.html
$cosθ$之表达式
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