x^4+y^4=z^3 的正整数解

wsc810

(x,y,z)除了(4,4,8)外还有其它正整数解吗

mathe

解应该挺多，如果`(x,y,z)`是一个解，那么`(k^3x,k^3y,k^4z)`也是一个解。后者可视为非本原解过滤掉。
因此本原解定义为`\gcd(x,y,z)`不含立方因子者。

记`d=\gcd(x,y,z)`, 设`(x,y,z)=d(x_0, y_0,z_0)`代入，得\[d(x_0^4+y_0^4)=z_0^3\]取 $d=(x_0^4+y_0^4)^2/m^3$（除以`m^3`使得 `d`不含立方因子），$z_0=(x_0^4+y_0^4)/m$就得到本原解\[x=\frac{(x_0^4+y_0^4)^2}{m^3}x_0,y=\frac{(x_0^4+y_0^4)^2}{m^3}y_0,z=\frac{(x_0^4+y_0^4)^3}{m^4}\]作为本原解，这里要求`\gcd(x_0,y_0)=1`.
【例1】取$x_0=y_0=1$就是你给出的`(4,4,8)`.
【例2】取$x_0=2,y_0=13$, 那么$(x_0^4+y_0^4)^2=28577^2=17^2xx41^4$, 则$m=41, d=17^2xx41=11849,z_0=17xx41=697$,得到的解为$$x=2d=23698,y=13d=154037,z=697d=8258753$$

mathe

【例3】取$x_0=24,y_0=37$那么$x_0^4+y_0^4=17^3*449$,则$m=17^2,d=449^2,z_0=17*449$ 得到的解为$$x=24d=4838424,y=37d=7459237,z=17*449^3=1538820433$$
【例4】取$x_0=99,y_0=197$那么$x_0^4+y_0^4=2*17^3*41^2*97$,则$m=17^2*41,d=2^2*41*97^2,z_0=2*17*41*97$ 得到的解为$$x=99d=152764524,y=197d=303985972,z=2^3*17*41^2*97^3=208651650568$$

mathematica

\[578^4+289^4=4913^3\]
其中578=289*2
4913=289*17

mathematica

\[638500618834693820^4+181468596931965612^4=551006314466807493063496^3\]

mathematica

\[1426673134604080055345035962286530964^4+1629530626228638135388101859813425308^4=2236966823004477355014505659134814055830969700808^3\]

hujunhua

难点就成了搜索d=1的解。

lsr314

hujunhua 发表于 2017-4-10 14:40
难点就成了搜索d=1的解。

没有互质的解的

lsr314

hujunhua 发表于 2017-4-10 14:40
难点就成了搜索d=1的解。

http://www.few.vu.nl/~sdn249/BeChDaYa-misc.pdf
http://www.math.mcgill.ca/~darmo ... /18.Merel/paper.pdf