最小的三同整数四边形对

TSC999

甲、乙两个不全等的四边形却有以下三同：

（1）周长相同，并且边长都是整数；

（2）面积相同，并且面积是一个整数；

（3）对角线长度之和相同，并且对角线长都是整数。

         这样的四边形对，可以找到无穷多。

        问题：最小的那一对四边形，周长是多少？ 我找到的最小者是 586。有没有更小的？

TSC999

最小的那一对四边形，面积是 20160。有没有比这更小的？
这个四边形对，不可能都是矩形。因为在它们周长、面积、对角线和都相等的条件下，两个矩形必然是全等的，这不符合题目要求的 “二者不全等”。

mathe

我们考虑两个全等整数边直角三角形拼成矩形，然后将其中一个三角形翻转构成一个风筝形四边形，适当放大到原三角形高为整数或半整数即可

mathe

还要求两对角线和长度相等。好怪的条件。

TSC999

我是在抛砖引玉哈，期待看到高手们的奇思妙想哈。

下面这个图容易引起误导：如果不要求四边形的那些参数都是整数，下面两个四边形，适当选择 P1 点的位置，即可满足条件。



但是要求是整数，这个有些困难了。

补充内容 (2017-4-23 07:56):
PAQB面积等于平行四边形ABCD的一半，对角线AB+PQ=AB+AD，周长=PA+PB+PC+PD。A1B1C1D1是矩形，其面积与周长都弄成与ABCD相同，则P1A1Q1B1 的面积及对角线之和都与PAQB保持相同。改变P1位置可使两个四边形周长也相等。

TSC999

        另有一个想法是，不要矩形这个拐棍参与了，将 P 点和 p1 点同时放在 ABCD 当中考虑，只要 P1 与 P 点不是关于平形四边形对角线交点是中心对称的，那么由这两个点形成的两个四边形PAQB 和 P1DQ1C 就不是全等的，但二者的面积、对角线之和总能保持相等。当 P 点位置确定后，使两个四边形周长相等的 P1点有无穷多。
        不过，怎样才能找到合适的平行四边形，合适的 P 点和 P1 点，使两个四边形PAQB 和 P1DQ1C 不全等，但二者的边长都是整数，周长相等；面积是整数且相等；对角线是整数且对角线之和相等呢？

     

TSC999

如果把平行四边形画成菱形，并且菱形的短对角线长等于边长，那么这个菱形可看作是由两个正三角形拼成。

按照前面的方法，由菱形内的两个点 P 和 P1 作出的两个四边形将都是等腰梯形。

等腰梯形的上、下底长；腰长；高以及对角线长，应该容易弄成全是整数吧？

zeroieme

直接用解析公式从数论入手如何

TSC999

下面这一对四边形（等腰梯形）如何？所有边长及面积都弄成整数了，但不知道是不是最小的（也许最小的根本就不是梯形这种形式呢？）



图中有多个勾股数，左图中是112，113，15 以及 112，180，212，这两组数有一个 112 是它们都有的。找出两组具有这种特性的勾股数是解决问题的关键。
上面两图中，斜边都是 212 的直角三角形是全等的（较短的那条直角边，一个处于水平位置，另一个处于垂直位置）。

TSC999

有一位网名是 0-1110 的网友，找到了更小的解：原文在【数学中国】http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=5

1. For[a = 1, a <= 15, a++,
   
2. For[b = 1, b <= 15, b++,
   
3.   If[a > b,
   
4.    m = a^2 - b^2; n = 2 a b;
   
5.    x1 = 3 m^2 + 2 m n + 3 n^2 ; x2 = x1;
   
6.    y1 = 5 m^2 + 6 m n - 3 n^2 ;
   
7.    z1 = m^2 + 2 m n + 5 n^2 ;
   
8.    y2 = -3 m^2 + 6 m n + 5 n^2 ;
   
9.    z2 = 5 m^2 + 2 m n + n^2 ;
   
10.    w = 4 (m + n) Sqrt[(m^2) + (n^2) ];
    
11.    Print["a=", a, "，b=", b, "，x1=x2=", x1, "，y1=", y1, "，z1=", z1,
    
12.     "，y2=", y2, "，z2=", z2, "，w=", w, "，L=", x1 + y1 + 2 z1]
    
13.    ]]]
    

复制代码

运行结果：

a=2，b=1，x1=x2=99，y1=69，z1=113，y2=125，z2=85，w=140，L=394

a=3，b=1，x1=x2=396，y1=500，z1=340，y2=276，z2=452，w=560，L=1576

a=3，b=2，x1=x2=627，y1=53，z1=865，y2=1005，z2=389，w=884，L=2410

a=4，b=1，x1=x2=1107，y1=1653，z1=785，y2=365，z2=1429，w=1564，L=4330

a=4，b=2，x1=x2=1584，y1=1104，z1=1808，y2=2000，z2=1360，w=2240，L=6304

a=4，b=3，x1=x2=2211，y1=-475，z1=3265，y2=3741，z2=1157，w=3100，L=8266

a=5，b=1，x1=x2=2508，y1=4020，z1=1556，y2=212，z2=3460，w=3536，L=9640

a=5，b=2，x1=x2=3363，y1=3525，z1=3281，y2=3197，z2=3445，w=4756，L=13450

a=5，b=3，x1=x2=4428，y1=1460，z1=5716，y2=6612，z2=3140，w=6256，L=17320

a=5，b=4，x1=x2=5763，y1=-2235，z1=8801，y2=9917，z2=2725，w=8036，L=21130

下面这个是 a=2，b=1，x1=x2=99，y1=69，z1=113，y2=125，z2=85，w=140，L=394 的等腰梯形：



比上面这个更小的是周长为 226 的等腰梯形，见下页图。