和圆有关的一个结论，如何简单证明？

manthanein

在坐标平面上给定圆\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)和定点\((u,v)\)以及定点\(P(p,q)\)。
过定点\((u,v)\)作直线交给定圆于\(X_{1}\)、\(X_{2}\)两点。
求数量积\(\overrightarrow{PX_{1}} \cdot \overrightarrow{PX_{2}}\)取最值时直线的方程。
我很认真地计算后得到了两个方程（应该是正确的）：

如何简单地证明呢？

manthanein

上一个应该是最大值，下一个应该是最小值

wayne

就是 纯向量运算，设圆心是$O$,圆心与直线的垂点是$I$,那么计算结果好像 \[\overrightarrow{PX_{1}} \cdot \overrightarrow{PX_{2}} =  (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OI})^2 + \overrightarrow{OI}^2-R^2\]

manthanein

试试
\(\overrightarrow {PX_{1}} \cdot \overrightarrow{PX_{2}}\)
\(=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IX_{1}}) \cdot (\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IX_{2}}) \)

manthanein

\((\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OI})^2\)
\(=PO^2+OI^2+2\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{OI}\)

manthanein

\(=(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IX_{1}}) \cdot (\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IX_{2}})\)
\(=(PO^2+OI^2+2\overrightarrow{PO} \cdot \overrightarrow{OI})+\overrightarrow{IX_{1}} \cdot \overrightarrow{IX_{2}}+\overrightarrow{PI} \cdot (\overrightarrow{IX_{1}}+\overrightarrow{IX_{2}})\)

manthanein

下面该如何化简？我记得好像有个结论的。

wayne

manthanein 发表于 2017-5-2 19:49
下面该如何化简？我记得好像有个结论的。

继续：\(\overrightarrow {PX_{1}} \cdot \overrightarrow{PX_{2}}= \overrightarrow {PI}^2 +  \overrightarrow{PI}\cdot(\overrightarrow {IX_{1}}+\overrightarrow {IX_{2}}) + \overrightarrow {IX_{1}} \cdot \overrightarrow{IX_{2}} =    \overrightarrow {PI}^2 +\overrightarrow {IX_{1}} \cdot \overrightarrow{IX_{2}} =    \overrightarrow {PI}^2 +\overrightarrow {IO}^2  -R^2 \)

所以，容易得知，当$I$在圆上，且 $I,O,P$ 三点共线的时候 取极值， 如果$I$在线段$OP$内部，则取极小值， 在外部，则取极大值。

manthanein

wayne 发表于 2017-5-2 21:13
继续：\(\overrightarrow {PX_{1}} \cdot \overrightarrow{PX_{2}}= \overrightarrow {PI}^2 +  \overr ...

中间那一项怎么消掉的？最后的结果又是怎么出来的？根据什么？