求助，正定矩阵的问题

Zbinbincol

证明任意的矩阵 $A >= B > 0$,（$>=$是半正定的符号，$>$ 是正定的符号）
$< A^{&#8722;1}, (A &#8722; B) > = Tr(A^{&#8722;1}(A &#8722; B) )<=\ln |A| &#8722; \ln |B|$.（$Tr$表示矩阵的迹）
老师给的提示: for any x∈R, lnx≤x&#8722;1.

mathe

https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/029_01_JIPAM/029_01.pdf
If A>0 and B>0, then $n(detA xx detB)^{m/n}<=tr(A^mB^m)$
将m=1,A用$A^{-1}$替换代入得到$n({detB}/{detA})^{1/n}<=tr(A^{-1}B)$
于是$tr(I-A^{-1}B)<=n(1-({detB}/{detA})^{1/n})<=-\ln({detB}/{detA})$

kastin

设方阵 `A,B` 的阶为 `n`，$A^{-1}B$ 的特征值为 `\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n`，由 `A\geqslant B >0` 可知 `0\lt \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\leqslant 1`，于是$$\mathrm{tr}(I-A^{-1}B)=n-\sum_{i=1}^n\lambda_i\leqslant n-n\sqrt[n]{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n}$$因此$$\mathrm{tr}(I-A^{-1}B)\leqslant n\left(1-\left(\frac{|B|}{|A|}\right)^{\frac{1}{n}}\right)\tag{1}$$考虑到$$0<|A^{-1}B|=\frac{|B|}{|A|}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\leqslant 1$$从而由不等式 `\ln(1-x) \leqslant -x` 得$$n(1-|A^{-1}B|^{\frac{1}{n}})\leqslant \ln(1-|A^{-1}B|)\leqslant \ln|A|-\ln|B|\tag{2}$$由 `(1),(2)` 即得结论。