定值问题

hejoseph

四边形 \(ABCD\) 中，\(AB=AD\)，\(BC=CD\)，四边形为凸或凹或退化为等腰三角形均可，\(2\angle EAF=\angle BAD\)，\(2\angle ECF=\angle BCD\)，直线 \(BP\)、\(BP\) 的交点 \(P\) 在四边形 \(ABCD\) 内部，求证：\(\angle BPD\)、\(AP/CP\) 均为定值，在已知 \(\angle BAD\)、\(\angle BCD\) 的情况下求出这两个定值。

hejoseph

叶中豪的解法：
设 \(\angle BAD=2\alpha\)，\(\angle BCD=2\beta\)，不妨设 \(\alpha\leqslant\beta\)，则
\[\angle ABC=\angle ADC=180^\circ-\alpha-\beta,\frac{AB}{BC}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},\]
作点 \(F\) 关于 \(AC\) 的对称点 \(F'\)，则点 \(E\)、\(F'\) 互为 \(\triangle ABC\) 的等角共轭点，由此得 \(\angle BPD\) 靠近点 \(C\) 那侧大小为
\[360^\circ-\angle ABC-\angle BCD=180^\circ+\alpha-\beta,\]
所以点 \(P\) 在过点 \(B\)、\(C\) 定角为 \(180^\circ+\alpha-\beta\) 的圆弧上。

另外，当点 \(E\) 为 \(\triangle ABC\) 的内心时，点 \(P\) 在 \(AC\) 内，由角平分线定理得此时
\[\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},\]
由此可知点 \(P\) 在以点 \(A\)、\(C\) 为定点，定比为 \(\sin\beta / \sin\alpha\) 的阿波罗尼斯圆上，所以无论点 \(E\) 在任何位置，都必定有
\[\frac{AP}{CP}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}.\]