四面体有棱切球的一个充要条件

hejoseph

四面体 \(ABCD\) 中二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的平面角是 \(\alpha_{AB}\)，二面角 \(B\text{-}AC\text{-}D\) 的平面角是 \(\alpha_{AC}\)，二面角 \(C\text{-}AD\text{-}B\) 的平面角是 \(\alpha_{AD}\)，二面角 \(A\text{-}BC\text{-}D\) 的平面角是 \(\alpha_{BC}\)，二面角 \(A\text{-}BD\text{-}C\)的平面角是 \(\alpha_{BD}\)，二面角 \(A\text{-}CD\text{-}B\) 的平面角是 \(\alpha_{CD}\)，证明 \(AB+CD=AC+BD=AD+BC\) 的充要条件是 \(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}=\alpha_{AD}+\alpha_{BC}\)。

hujunhua

您计算过一个带有一般性的实例吗？

hejoseph

设四面体 \(ABCD\) 的体积是 \(V\)，\(\triangle ABC\) 的面积是 \(S_1\)，\(\triangle ABD\) 的面积是 \(S_2\)，\(\triangle ACD\)  的面积是 \(S_3\)，\(\triangle BCD\) 的面积是 \(S_4\)。

充分性

设 \(AB = a\)，\(AC = b\)，\(AD = c\)，\(CD = p\)，\(BD = q\)，\(BC = r\)，则
\begin{align*}
\cos \alpha_{AB} &= \frac{a^2\left(b^2 + q^2 + c^2 + r^2 - a^2 - p^2\right) - \left(b^2 - r^2\right)\left(c^2 - q^2\right) - a^2p^2}{16S_1S_2} ， \sin \alpha_{AB} = \frac{3aV}{2S_1S_2}， \\
\cos \alpha_{AC} &= \frac{b^2\left(a^2 + p^2 + c^2 + r^2 - b^2 - q^2\right) - \left(a^2 - r^2\right)\left(c^2 - p^2\right) - b^2q^2}{16S_1S_3} ， \sin \alpha_{AC} = \frac{3bV}{2S_1S_3}， \\
\cos \alpha_{AD} &= \frac{c^2\left(a^2 + p^2 + b^2 + q^2 - c^2 - r^2\right) - \left(a^2 - q^2\right)\left(b^2 - p^2\right) - c^2r^2}{16S_2S_3} ， \sin \alpha_{AD} = \frac{3cV}{2S_2S_3}， \\
\cos \alpha_{BC} &= \frac{r^2\left(a^2 + p^2 + b^2 + q^2 - c^2 - r^2\right) - \left(a^2 - b^2\right)\left(q^2 - p^2\right) - c^2r^2}{16S_1S_4} ， \sin \alpha_{BC} = \frac{3rV}{2S_1S_4}， \\
\cos \alpha_{BD} &= \frac{q^2\left(a^2 + p^2 + c^2 + r^2 - b^2 - q^2\right) - \left(a^2 - c^2\right)\left(r^2 - p^2\right) - b^2q^2}{16S_2S_4} ， \sin \alpha_{BD} = \frac{3qV}{2S_2S_4}， \\
\cos \alpha_{CD} &= \frac{p^2\left(b^2 + q^2 + c^2 + r^2 - a^2 - p^2\right) - \left(b^2 - c^2\right)\left(r^2 - q^2\right) - a^2p^2}{16S_3S_4} ， \sin \alpha_{CD} = \frac{3pV}{2S_3S_4} 。
\end{align*}
计算化简得
\begin{align*}
\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)-\cos\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)&=-\frac{9V^2\left(a+p+b+q\right)\left(a+p-b-q\right)}{8S_1S_2S_3S_4}，\\
\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)-\cos\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)&=-\frac{9V^2\left(a+p+c+r\right)\left(a+p-c-r\right)}{8S_1S_2S_3S_4}。
\end{align*}
因为 \(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}=\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\)，则由上面的结论得 \(a+p=b+q\)，\(a+p=c+r\)，即 \(AB+CD=AC+BD=AD+BC\)。

必要性

因为 \(AB+CD=AC+BD=AD+BC\)，设 \(AB=w+x\)，\(AC=w+y\)，\(AD=w+z\)，\(BC=x+y\)，\(BD=x+z\)，\(CD=y+z\)，则
\begin{align*}
&\sin\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)=\sin\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)=\sin\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)=\frac{3wxyz\left(w+x+y+z\right)V}{2S_1S_2S_3S_4}，\\
&\cos\left(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}\right)=\cos\left(\alpha_{AC}+\alpha_{BD}\right)=\cos\left(\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\right)=-\frac{wxyzt}{2S_1S_2S_3S_4}，
\end{align*}
其中
\[
t=w^2\left(xy+xz+yz\right)+x^2\left(wy+wz+yz\right)+y^2\left(wx+wz+xz\right)+z^2\left(wx+wy+xy\right)+2wxyz，
\]
所以 \(\alpha_{AB}+\alpha_{CD}=\alpha_{AC}+\alpha_{BD}=\alpha_{BC}+\alpha_{AD}\)。

hujunhua

那应该有一个漂亮的几何证明。我相信！

陈九章

杨之老师80年代解决过

hejoseph

与上面命题几乎一样的命题：
四面体 \(ABCD\) 中二面角 \(D\text{-}AB\text{-}C\) 的平面角是 \(\alpha_{AB}\)，二面角 \(B\text{-}AC\text{-}D\) 的平面角是 \(\alpha_{AC}\)，二面角 \(C\text{-}AD\text{-}B\) 的平面角是 \(\alpha_{AD}\)，二面角 \(A\text{-}BC\text{-}D\) 的平面角是 \(\alpha_{BC}\)，二面角 \(A\text{-}BD\text{-}C\)的平面角是 \(\alpha_{BD}\)，二面角 \(A\text{-}CD\text{-}B\) 的平面角是 \(\alpha_{CD}\)，则 \(AB-CD=AC-BD=AD-BC\) 的充要条件是 \(\alpha_{AB}-\alpha_{CD}=\alpha_{AC}-\alpha_{BD}=\alpha_{AD}-\alpha_{BC}\)。
此时四面体有另外一种棱切球，如图，红色部分是四面体内部，点 \(A\) 是最上方的点：

hejoseph

两种棱切球有统一的半径计算公式：四面体体积是 \(V\)，各顶点到球的切线长分别是 \(w\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)，则棱切球半径为
\[
\frac{2wxyz}{3V}。
\]

lihpb01

https://blog.csdn.net/lihpb00/article/details/116350443
https://blog.csdn.net/lihpb00/article/details/115420658