求证一个面积不等式

mathematica

我会了!!!!!!!
连接EF
然后证明三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯形ABFE的面积
右边的同理,
然后两个不等式相加,就证明了命题!

TSC999

mathematica 发表于 2017-6-29 13:57
我会了!!!!!!!
连接EF
然后证明三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯形ABFE的面积

完全正确。连接 EF 是本题的一个妙处。另一个妙处是如何简明而优美地证明 “三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯形ABFE的面积” 。

kastin

TSC999 发表于 2017-6-29 15:08
完全正确。连接 EF 是本题的一个妙处。另一个妙处是如何简明而优美地证明 “三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯 ...

2楼mathe已经说的很清楚了，利用均值不等式。

AF与BE夹角给定，则以G为顶点的四个三角形的顶角两两互补，于是其正弦值相等，所以其面积只跟邻边乘积有关，不妨设`AG=a,BG=b,FG=c,EG=d`，原不等式等价为证明 `S_{\triangle AGE}+S_{\triangle BGF}\geqslant S_{\triangle AGB}+S_{\triangle EGF} \iff ad+bc\geqslant ab+cd`

因为左右两个三角形面积相等，即 `ab=cd`，故 `ad+bc\geqslant 2\sqrt{abcd}=2ab=ab+cd` 得证。

mathematica

发表一个详细的证明!
假设
AE=a BF=c 梯形高h
则
G到AE的距离=a/(a+c)*h
G到BF的距离=c/(a+c)*h
三角形AGE的面积=1/2*a*a/(a+c)*h
三角形BGF的面积=1/2*c*c/(a+c)*h
梯形ABFE的面积=1/2*(a+c)*h
所以证明等价于证明
1/2*a*a/(a+c)*h+1/2*c*c/(a+c)*h>=1/2*1/2*(a+c)*h
等价于
a*a/(a+c)+c*c/(a+c)>=1/2*(a+c)
等价于
(a*a+c*c)/(a+c)>=0.5*(a+c)
等价于
2*(a*a+c*c)>=(a+c)^2
等价于
a*a+c*c>=2*ac
这个显然成立

TSC999

连接 EF，先看右边的梯形，由于  $ S^2=S1S2 $，故  $ S=sqrt{S1S2} ≤\frac{1}{2}(S1+S2)$，即  $ S+S≤S1+S2 $，

所以  $ S=\frac{1}{4}(S+S+S+S)≤\frac{1}{4}(S+S+S1+S2) $。这就是说 $ S $ 不大于四边形 $ EFCD $ 面积的四分之一。

同理，对于左边的梯形，三角形 $ EGF $ 的面积不大于四边形 $ ABFE $ 面积的四分之一。

于是四边形 $ EGFH $ 的面积不大于四边形 $ ABCD $ 面积的四分之一。

mathematica

TSC999 发表于 2017-6-30 11:52
连接 EF，先看右边的梯形，由于  $ S^2=S1S2 $，故  $ S=sqrt{S1S2} ≤\frac{1}{2}(S1+S2)$，即  $ S+S ...

fz=a^2*b+a*b^2-2*a*b*c+b^2*c+b*c^2+a^2*d-2*a*b*d-2*a*c*d-2*b*c*d+c^2*d+a*d^2+c*d^2
如何证明这个>=0呢?

TSC999

有网友找到了，这个题目是1994年第九届中国数学奥林匹克 第1题。

kastin

TSC999 发表于 2017-6-30 11:52
连接 EF，先看右边的梯形，由于  $ S^2=S1S2 $，故  $ S=sqrt{S1S2} ≤\frac{1}{2}(S1+S2)$，即  $ S+S ...

@TSC999，反正我小学时奥赛里面没学过这个东西。13楼的方法跟这个面积平方结论本质是一样的，这里只不过用底乘以高来表示三角形面积的两倍，而13楼用的是相邻边长乘以顶角正弦值来表示。下面详细说明。

记得初中平面几何里“平行线段成比例”相关章节课后有道习题：
如图所示，`AC\parallel EF\parallel VD`，则有 `EF^2=AC\*BD`.

初中平面几何课后习题

分别在 `\triangle ABC` 和 `\triangle ABD` 中利用平行线段成比例性质，相乘即得上述结论。
然后利用相似三角形性质可知，过 `C,E,D` 三点作 `AB` 的三条高（红色虚线）也满足类似的结论：`EH^2=CG\*DI`，因为底边都是 `AB`，那么有面积关系：`S_{\triangle ABE}^2=S_{\triangle ABC}\*S_{\triangle ABD}`.  如果将这些面积用`AD`和`BC`夹角的正弦值以及 `AE,BE,DE,CE` 来表示，就得到13楼的结论。

你说专门记住这个“任意四边形的对角线把这个四边形分成四个三角形，则相对的三角形面积之积相等”定理比13楼的要好，可我觉得让小孩子记这么多特殊结论，还不如记住一个三角形面积公式 `S=\D\frac{1}{2}ab\sin A` 划算，因为你这个面积结论直接可由这个三角形面积公式推出，而且还不需要上面的几何推理，直接进行代数运算就行。

mathematica

TSC999 发表于 2017-6-29 15:08
完全正确。连接 EF 是本题的一个妙处。另一个妙处是如何简明而优美地证明 “三角形AGE+三角形BGF>=0.5*梯 ...

1. (*假设AE=c,ED=d,BF=a,FC=b,梯形高h*)
   
2. (*然后先求解出梯形ABCD的面积*)
   
3. (*梯形EBC的面积=三角形EBC的面积-三角形BGF的面积-三角形HFC的面积*)
   
4. (*返回结果是TRUE,证明结论成立*)
   
5. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
6. fz=1/4*(a+b+c+d)/2*h-((a+b)/2*h-a/(a+c)*h*a/2-b/(b+d)*h*b/2)
   
7. Simplify[fz>=0,a>=0&&b>=0&&c>=0&&d>=0&&h>=0&&(a+c)>0&&(b+d)>0]
   

复制代码

返回结果TRUE,
结论成立!
mathematica真牛逼!顶mathematica!
\[\frac{a^2 b h+a^2 d h+a b^2 h-2 a b c h-2 a b d h-2 a c d h+a d^2 h+b^2 c h+b c^2 h-2 b c d h+c^2 d h+c d^2 h}{8 (a+c) (b+d)}\]

\[\frac{h \left(a^2 b+a^2 d+a b^2-2 a b c-2 a b d-2 a c d+a d^2+b^2 c+b c^2-2 b c d+c^2 d+c d^2\right)}{8 (a+c) (b+d)}\]
\[=\frac{h \left((a-c)^2 (b+d)+(a+c) (b-d)^2\right)}{8 (a+c) (b+d)}\]
要想人肉证明分子>=0
见
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 744&fromuid=865