如何用 mathmatica 求该问题的理论最大值

TSC999

问题： 已知 \( x^2+y^2 =1 \)，求 \( (x+1)(y+2) \) 的最大值。要理论表达式。

用下面的代码可以求出数字解：

1. FindMaximum[{(x + 1) (y + 2), x^2 + y^2 == 1}, {x, y}]

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用下面的代码可以求出理论表达式，但公式并不是最简的：

1. Maximize[{(x + 1)*(y + 2), x^2 + y^2 == 1}, {x, y}] //
   
2.   RootReduce // ToRadicals

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如何得到满意的解答？

zeroieme

1. Maximize[{(x+1)*(y+2),x^2+y^2==1},{x,y}]//FullSimplify

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在根函数Root下已经是最简单的，再搞成三角函数反而变复杂了。
可以用ToRadicals解析根函数容易理解。

1. Maximize[{(x+1)*(y+2),x^2+y^2==1},{x,y}]//FullSimplify//ToRadicals

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kastin

计算机擅长按照固定的规则、程序步骤执行任务，所以你必须告诉它什么叫做最简形式。实际上，很难找到一个统一有效的、合理的、确定的最简表达式的定义。因为，在不同情况下，人们心里所预期的“最简形式”的标准往往会发生改变。所以，对于计算机而言，无法在任何情况下都能自动给出你所预期的最简结果。但它可以给出在给定标准下的最简结果。

比如 Simplify 函数和 FullSimplify 函数（后者能处理特殊的数学函数）都提供了一个叫做 ComplexityFunction 的选项，该选项可以指定一个函数用于评估某个表达式的复杂程度，从而为计算机提供一个“最简表达式”的定量标准。默认情况下，这个函数被指定为统计子表达式的个数和其中整数的位数（两者权重不一样，前者对于复杂度的贡献最大）来计算复杂度的值，因此，你给的例子的结果如果用根式表达，根据它默认的标准看来，属于非常复杂的表达式，并不如系统内部自带的Root对象简单，故返回的是Root对象就不难理解了。

再举两个简单一点的例子：
1. `10\ln 2，\ln 1024` 这两个表达式谁更简单？按照通常的数学书写习惯，有些人认为前者更简单，但从系统默认标准来看，后者才是最简单的。想要返回第一种结果，就必须找到并给出一个复杂度函数，使得前者的复杂度比后者低（当然这样的函数非常多，但不一定任何情况都有效，取决于怎么去设定这个标准）：

1. FullSimplify[10 Log[2]]
   
2. FullSimplify[Log[1024],
   
3. ComplexityFunction -> (Total@
   
4.      IntegerLength@
   
5.       Cases[ #, _Integer, {0, Infinity}, Heads -> True] &)]
   

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2. 切比雪夫函数与双曲三角函数一样，虽然有专门的函数名，但是它还可以写成通常的初等函数表达的形式。从形式上来说，直接用专门的函数名肯定比用初等函数表达形式更简单，那如果想要用初等表达式表达呢？设计两个复杂度函数，使得专们名称的函数其复杂度比初等表达形式的更大就行：

1. f[e_] := 100 Count[e, _ChebyshevT, {0, Infinity}] + LeafCount[e]
   
2. FullSimplify[ChebyshevT[n, x], ComplexityFunction -> f]
   
3. g[e_] := 100 Count[e, _Sinh | Cosh | Tanh, {0, Infinity}] +
   
4.   LeafCount[e]
   
5. FullSimplify[Sinh[x], ComplexityFunction -> g]

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总的来说，计算机很呆板，只会按照你给的规则和标准来执行，想要满足你的心意，就必须按照它的方式告诉它该怎么做，目前人类设计的计算机只是个工具而已，无法自己思考，未来人工智能发展成熟之后或许能办到。

TSC999

用 Simplify 可以简化本例中最大值表达式，见下述代码。

1. Simplify[\!\(TraditionalForm\`
   
2. \*FractionBox[\(1\), \(48\)]\ \((96 +
   
3. \*RadicalBox[\(297216 - 11712\
   
4. \*SqrtBox[\(183\)]\), \(3\)] + 4\
   
5. \*RadicalBox[\(3\ \((1548 + 61\
   
6. \*SqrtBox[\(183\)])\)\), \(3\)])\)\)]

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用 Simplify 也可以简化本例中的 $ y $ 表达式，见下述代码。

1. Simplify[\!\(TraditionalForm\`\(TraditionalForm\`
   
2. \*FractionBox[\(1\), \(12\)]\ \((\(-8\) +
   
3. \*RadicalBox[\(496 - 24\
   
4. \*SqrtBox[\(183\)]\), \(3\)] + 2\
   
5. \*RadicalBox[\(62 + 3\
   
6. \*SqrtBox[\(183\)]\), \(3\)])\)\)\)]

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但是为什么用 Simplify 就不能简化本例中的 $ x $ 表达式呢？见下述代码。

1. Simplify[\!\(TraditionalForm\`\(TraditionalForm\`\(TraditionalForm\`
   
2. \*FractionBox[\(1\), \(2\)]\ \((
   
3. \*FractionBox[
   
4. RadicalBox[\(27 + 2\
   
5. \*SqrtBox[\(183\)]\), \(3\)],
   
6. SuperscriptBox[\(3\), \(2/3\)]] -
   
7. \*FractionBox[\(1\),
   
8. RadicalBox[\(3\ \((27 + 2\
   
9. \*SqrtBox[\(183\)])\)\), \(3\)]])\)\)\)\)]

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从前两个代码的运行结果看，确实公式得到了简化（无论是怎样的评判标准！）
而最后这个关于  $ x $  的表达式呢？也并非是不能简化的（无论是怎样的评判标准！）。

根据上面的结果，可以写出下面的代码：

1. a = Maximize[{(x + 1)*(y + 2), x^2 + y^2 == 1}, {x, y}] //
   
2.     RootReduce // ToRadicals;
   
3. Simplify[a]

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这个代码的缺点是没有把  $ x $  的表达式加以简化。

chyanog

双曲函数形式
\[\text{maximize}\to 2+\frac{1}{6} \sqrt{249} \cosh \left(\frac{1}{3} \tanh ^{-1}\left(\frac{61 \sqrt{183}}{1548}\right)\right)\]
\[x\to \frac{1}{3} \sqrt{3} \sinh \left(\frac{1}{3} \tanh ^{-1}\left(\frac{9 \sqrt{183}}{122}\right)\right)\]
\[y\to \frac{1}{3} \left(\sqrt{13} \cosh \left(\frac{1}{3} \tanh ^{-1}\left(\frac{3 \sqrt{183}}{62}\right)\right)-2\right)\]

chyanog

TSC999 发表于 2017-6-28 15:45
用 Simplify 可以简化本例中最大值表达式，见下述代码。

在贴吧不是已经问过了吗，你认为没有简化，其实就是没有分母有理化

1. Maximize[{(x+1)*(y+2),x^2+y^2==1},{x,y}]//RootReduce//ToRadicals;
   
2. %/.x_^(-1/3):>RootReduce[1/x]^(1/3)//Simplify

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wayne

楼主如果足够用心的话,可以把#3 @kastin的 观点吸收进来[人家花那么多时间打字,你是不是该表示一下], 然后 揉合一下.得到的结果跟楼上chyanog 吧主高端的RuleDelayed的代码的结果是 殊途同归的. ^_^

1. Maximize[{(x + 1)*(y + 2), x^2 + y^2 == 1}, {x, y}] // RootReduce // ToRadicals;
   
2. FullSimplify[%, ComplexityFunction -> Depth] // Together

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其实跟zeroieme 也是一致的.

TSC999

谢谢各位大师和高手！ 这个帖子对于像本人这样的 mathmatica 初学者，是很好的教材，需要慢慢学习和领会。