不等式求证

啄木鸟

先谢谢各位大神了
\[\frac{x_1}{nx_1+x_2}+\frac{x_2}{nx_2+x_3}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{nx_{n-1}+x_n}+\frac{x_n}{nx_n+x_1}\le\frac{n}{n+1}\le\frac{x_1}{x_1+nx_2}+\frac{x_2}{x_2+nx_3}+\cdots+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+nx_n}+\frac{x_n}{x_n+nx_1}\]其中  \(n\ge2,x_i\gt0, i=1,2,\cdots,n\).

hujunhua

貌似可以直接通分、化整式求差来证明。通分之前，先作如下变换：
令   $y_1=x_2/x_1, y_2=x_3/x_2,\cdots,y_{n-1}=x_n/x_{n-1}, y_n=x_1/x_n$
将原不等式化为\[\Sigma\frac1{n+y_i}\le\frac{n}{n+1}\le\Sigma\frac1{1+ny_i},(y_i>0, y_1y_2\cdots y_n=1)\]以便减少书写量。

hujunhua

以左侧不等式为例，左边通分\[\sum\frac1{n+y_i}=\frac{\D\sum_{j=1}^n\prod_{i\ne j}(n+y_i)}{\prod(n+y_i)}=\frac{\D\sum_{r=0}^n\frac{n-r}{n^r}\sigma_r}{\D\sum_{r=0}^{n}\frac{\sigma_r}{n^{r-1}}}\]其中`\sigma_r`为 `r` 次基本对称多项式（即韦达定理里面左边的各多项式），`\sigma_0=1,\sigma_n=y_1y_2\cdots y_n=1`。\[(n+1)\sum_{r=0}^n\frac{n-r}{n^r}\sigma_r-n\sum_{r=0}^{n}\frac{\sigma_r}{n^{r-1}}=n-\sum_{r=1}^n\left(\frac{r-1}{n^{r-1}}+\frac{r}{n^r}\right)\sigma_r\]可见等式右边 `\sigma_r`前的系数皆为负数，故 `\sigma_r`取最小值时，等式取最大值。
众所周知，诸`\sigma_r`取最小值的条件都是`y_1=y_2=\cdots=y_n=1`,这时右边取到最大值,显然为 0。