\(\frac{\dif f(x)}{\dif f'(x)}\)与\(\frac{\dif f’(x)}{\dif f(x)}\)

dianyancao

\(\dif f(x)\)与\(\dif f’(x)\)是否独立，若独立那么\(\frac{\dif f(x)}{\dif f'(x)}\)与\(\frac{\dif f’(x)}{\dif f(x)}\)都为0吗？
问题来自对\(F(x,f(x),f'(x))\)的变分，处理欧拉-拉格朗日微分方程

dianyancao

变分那里是求偏导数，不是全导数。。。

282842712474

不能这样理解的，你要把积分号也放在一起理解。被变分的式子是一个泛函，泛函的输出是一个数，输入是一个函数。
我们要研究输入的微小变化对输出造成的影响，所以就有了变分。
$$\mathscr{S}[x(t)] =\int_a^b F\Big(x(t),x'(t),t)dt$$
这样就定义了一个泛函。要研究变分就是要研究
$$\delta \mathscr{S}[x(t)] =\mathscr{S}[x(t)+\delta x(t)] - \mathscr{S}[x(t)]$$
这里的$\delta x(t)$是独立于$x(t)$的、满足0边界条件的任何函数。假如我们赋予它某种“小”的约束（认为它很“小”），我们就做近似展开
$$\delta \mathscr{S}[x(t)] = \int_a^b \frac{\partial F}{\partial x(t)}\delta x(t) dt + \frac{\partial F}{\partial x'(t)}\delta x'(t) dt$$
然后用分部积分法。你的疑问可能来自这里，为什么将$x(t),x'(t)$分别偏微分，它们之间没有联系吗？

$x(t),x'(t)$有联系，是它们作为$t$的函数有联系。但这里我们要算的是$F$函数的两个变量所形成的微分，自然是分别偏微分。至于$x(t),x'(t)$有什么联系，这不重要。

dianyancao

282842712474 发表于 2017-8-6 16:22
不能这样理解的，你要把积分号也放在一起理解。被变分的式子是一个泛函，泛函的输出是一个数，输入是一个函 ...

是的，求的是偏微分
我在看thin plate spline插值函数求解过程，刚看了变分法
薄板样条在1维时插值格林函数为\(|x_i-x_j|^3\)，这个格林函数可以作为一个核函数吗，或者说矩阵\(G_{ij}=|x_i-x_j|^3\)是正定的吗？
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 8\\
1 & 0 & 1\\
8 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
这个矩阵既不是正定的也不是负定的，但是看一些资料，说当需要拟合的点各自不同时，格林函数的矩阵是正定的，是不是哪里理解错了？