一道趣题求解

Sirius

1~n，共n个数，任意分成两个集合，都可以在其中一个集合中找到两个数，使得两个数的和为四次方数，求n最小值。

northwolves

n=9040

考虑三个数字960,5061,9040，任意两个之和均为四次方数。将其置于2个集合，根据抽屉原理，得证。

Sirius

这个题目我又想了一下，有了一点思路。最小的n应该是1288，可以根据奇圈来考虑，又有个问题，这样的n会有多少个？

Sirius

8+73=81，,73+183=256,183+1113=1296,1113+1288=2401，1288+8=1296

Sirius

这样的n有无穷多个

zeroieme

用抽屉原理的思路，就是以下正整数方程组，n为奇数的情形。稍后暴力一下。

\(a_1+a_2=b_1^4\)
\(a_2+a_3=b_2^4\)
\(a_3+a_4=b_3^4\)

\(a_{i+1}+a_i=b_i^4\)

\(a_n+a_1=b_n^4\)

Sirius

当1~-n中存在奇数个数排成一圈（奇圈），圈上相邻的两个数的和均为四次方数时，满足：任意分成两个集合，都可以在其中一个集合中找到两个数，使得两个数的和为四次方数

要使n为最小，也就是使四次方数尽量小。不妨考虑2^4=16 , 3^4=81 , 4^4=256 . 5^4=625 , 6^4=1296 , 7^4=2401 , 这六个四次方数，
由于前五个数中，后一个均为前一个2倍以上，因此不存在3个数的奇圈，下面考虑5个数的奇圈，由于五个数的奇圈产生的五个相邻的和必有两个相邻的和，大的那个数小于小的那个数的2倍，(否则不能满足：任意分成两个集合，都可以在其中一个集合中找到两个数，使得两个数的和为四次方数) 易知这两个和是1296,2401，其中1296出现两次。假设5个数为a1, a2. a3. a4, a5， 不妨a2+a3=2401，则a1+a2=1296, a3+a4=1296,假设a2大于a3.
所以a2大于等于1201，小于等于1295，推出 a1大于等于1，小于等于95，推出a4大于等于96，小于等于190，推出a4+a5=256，a5+a1=81，推出a1小于等于15，假设a1=15-x (x大于等于0)，代入得95-2x=81，  x=7，a1=8,  a2=1288

northwolves

1~n，共n个数，任意分成两个集合，都可以在其中一个集合中找到两个数，使得两个数的和为m次方数(m>1)，求n最小值

Sirius

1~n，共n个数，任意分成两个集合，都可以在其中一个集合中找到两个数，使得两个数的和为m次方数(m>1)，求n最小值


三次方数，对应最小的n应该是124，含有21个数的奇圈。