求通项公式

王守恩

creasson 发表于 2017-9-28 09:46
是这样,令\[t = 2zx\],于是\[\sqrt {\frac{2}{\pi }} \cos z\sqrt {1 - 4t}  = \sum\limits_{m = 0}^\inf ...

谢谢creasson！谢谢kastin！谢谢wayne！
数学太奇妙了！直叫我看得眼花缭乱！让我好好的回味回味！
主帖的意图很明确：找一找数字串A,数字串B的规律，
或者找一找A/B的规律，向"e"靠拢！因为“e”=3-2/(7+A/B)。

kastin

creasson 发表于 2017-9-28 09:46
是这样,令\[t = 2zx\],于是\[\sqrt {\frac{2}{\pi }} \cos z\sqrt {1 - 4t}  = \sum\limits_{m = 0}^\inf ...

思路不错，由\[u(x)=\frac{7i}{2}e^{\frac 12}\frac{e^{i\frac{1}{2}\sqrt{4x-1}}}{\sqrt{4x-1}}-\frac{19i}{2}e^{-\frac 12}\frac{e^{-i\frac{1}{2}\sqrt{4x-1}}}{\sqrt{4x-1}}\tag{1}\]可知还需得到余弦形式就能表达通项。
10楼结果中2的指数似乎多了个1/2，注意，对 `z^2` 开方要带模长（这里仅考虑实数 `z`，因为模长这种不解析的函数无法进行复积分），只不过由于余弦函数是偶函数，故 `\cos|z|\sqrt{1-4x}=\cos z\sqrt{1-4x}`\[\begin{align*}\frac{\sin z\sqrt{1-4x}}{\sqrt{1-4x}}=\sqrt{\frac{\pi z}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2z)^n}{n!}J_{n+\frac 12}(z)x^n\tag{2.1}\\
\implies \frac{\sin z\sqrt{4x-1}}{\sqrt{4x-1}}=\sqrt{\frac{\pi z}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2z)^n}{n!}I_{n+\frac 12}(z)x^n\tag{2.2}\end{align*} \]类似可得余弦形式(`z \gt 0`) \[\begin{align*}\frac{\cos z\sqrt{1-4x}}{\sqrt{1-4x}}=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}-\sqrt{\frac{\pi z}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2z)^n}{n!}J_{-n-\frac 12}(z)x^n\tag{3.1}\\
\frac{\cos z\sqrt{4x-1}}{\sqrt{4x-1}}=\frac{1}{\sqrt{4x-1}}-i\sqrt{\frac{\pi z}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2z)^n}{n!}I_{-n-\frac 12}(z)x^n\tag{3.2}\end{align*}\]但通过数值验证发现上述两个式子并不成立，不知哪里有问题。

wayne

直奔楼主的最终意图。倒是很trival的问题：楼主是要大家先计算A,B 的通项公式， 然后再代入  $2/{3-e}-7$的渐近分数 里看看，执果索因，

1. Convergents[2/(3-E)-7,10]

复制代码

wayne

扔到 OEIS里，发现， 自然数$e$的渐近分数的分子或者分母的递推公式其实是都是分段表达的：

$a(3n) = a(3n-1) + a(3n-2), a(3n+1) = 2n*a(3n) + a(3n-1), a(3n+2) = a(3n+1) + a(3n).$

所以，我们的计算的本质 其实是在 解决 一类分段递推公式的问题。

kastin

wayne 发表于 2017-9-30 13:35
扔到 OEIS里，发现， 自然数$e$的渐近分数的分子或者分母的递推公式其实是都是分段表达的：

$a(3n) = a ...

楼主这种做法是徒劳的，因为根据结果来看，贝塞尔函数在大阶数时可以用Gamma函数来表示，而Gamma函数则可以利用斯特林公式来渐近，而后者是与e相关的，最终绕一圈还是回到了原点。

王守恩

kastin 发表于 2017-9-30 14:17
楼主这种做法是徒劳的，因为根据结果来看，贝塞尔函数在大阶数时可以用Gamma函数来表示，而Gamma函数则可 ...

太精彩了！拿个板凳坐下来好好享受享受，谢谢大师们！
我一开始还妄想找一个分数来替代“e”。有句话说得很好：
“金盾牌就是金盾牌，铜盾牌岂能替代金盾牌？！！！“