一点到长方体的最小（大）距离简单计算公式

sheng_jianguo

假设三维欧氏空间的一个正长方体中心在原点（|x|≤a；|y|≤b；|z|≤c；a、b、c为三个大于0的实数），此长方体外有一定点A，坐标位置为（x0，y0，z0）。求点A到此长方体的最小和最大距离的巧妙简单公式。
也就是求A点与长方体中（包括边界面）任一点组成的线段中，最短与最长线段长度分别是多少？

kastin

长方体各个面所在平面将整个长方体之外的空间划分为数个区域，判断A落在哪个区域（若落在边界上，可以从中任意选一个）。
对于每一个区域来说，落在该区域的点与长方体最近的那个点，必然落在该区域对应的长方体边界上（棱或者面），只需要往该边界上作垂线即可。由于长方体是凸集，故离A最远的点必然在对当前所在区域对应面的对立面（或棱）上的某个顶点，比较A相对于长方体中心的位置，选择较远一侧那个顶点即可。

sheng_jianguo

kastin 发表于 2017-10-10 15:54
长方体各个面所在平面将整个长方体之外的空间划分为数个区域，判断A落在哪个区域（若落在边界上，可以从中 ...

将空间分为几个区域是可以求解，我也试过分为14个区域求解，但需要很多判别式，又需要14个公式。
我的题目意思，能否找到一个统一简单公式（判别式不超过2个）就能求出最小长度，同样能否找到一个统一简单公式（判别式不超过2个）就能求出最大长度？
注：公式中变量仅为a，b，c，x0，y0，z0。

kastin

sheng_jianguo 发表于 2017-10-10 19:51
将空间分为几个区域是可以求解，我也试过分为14个区域求解，但需要很多判别式，又需要14个公式。
我的题 ...

不大可能，因为长方体曲面本身就不是一个可以用连续函数精确表示的，因此这个长度必然是分区间表示的。如果要找到一个简单表达式，可以将这些不同结果从形式上观察，然后加入一些特殊的不连续函数（类似开关函数），这样可以在形式上统一起来，但本质上并没有解决问题。

补充内容 (2017-10-11 14:27):
这里的“连续”是笔误，应该是“光滑”

mathe

不就是(|x|,|y|,|z|)到(a,b,c)和(-a,-b,-c)的距离嘛

sheng_jianguo

kastin 发表于 2017-10-10 19:57
不大可能，因为长方体曲面本身就不是一个可以用连续函数精确表示的，因此这个长度必然是分区间表示的。如 ...

对于我来说，能用一个公式能计算最短（长）距离就解决问题了，编程简单，不易出错。
用几个连续函数和一个不连续函数，只要计算公式正确，本质上是一样的。
您得出用一个连续函数不能解决此问题推导不严谨，我还是以为用一个连续函数解决此问题是有可能的。

mathe

首先对所有坐标求绝对值转化为所有坐标非负情况。然后又构造点各坐标分别为min(a,x)等，这个构造点到原点距离即最短距离

sheng_jianguo

受mathe 启发，导出了计算最短（长）距离公式如下：
最短距离公式：
$sqrt{(max(|xo|-a,0))^2+(max(|yo|-b,0))^2+(max(|zo|-c,0))^2}$
最长距离公式：
$sqrt{(|xo|+a)^2+(|yo|+b)^2+(|zo|+c)^2}$
应该都是连续函数吧。
不知是否有漏洞，是否还有更巧妙的公式。

wayne

直接代数解其实也不麻烦啦, 设长方体上的点为$P$ $(x,y,z)$,那么距离表达式是 $PA^2= (x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2$，其中$|x|<=a,|y|<=b,|z|<=c$。
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1)取极值的时候，一定位于边界。即长方体的表面， 边界方程是 $|x|=a\bigcup |y|=b \bigcup|z|=c$.   
2)根据对称性，我们只取1/8的区域，于是不妨都取非负部分。所以问题转化为：求$PA^2= (|x_0|-x)^2+(|y_0|-y)^2+(|z_0|-z)^2$的极值，其中$|x|=a\bigcup |y|=b \bigcup|z|=c$.
3) 所以，不难得到 $PA_{max}^2 = (|x_0|+a)^2+(|y_0|+b)^2+(|z_0|+c)^2$
$PA_{min}^2 = (max(|x_0|-a,0))^2+(max(|y_0|-b,0))^2+(max(|z_0|-c,0))^2 $
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不知道对不对，没有仔细推敲，有空再补充。。。。