求一个条件最小值

hujunhua

`x,y,z`为正整数，且`x=3y+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{3y}z^z`的最小值。

KeyTo9_Fans

$x=3y+2z$，$x$至少是$5$
$yyy=xzz$，$y$至少是$2$
$x=3y+2z$，$x$至少是$8$
$8=3*2+2*1$，
$2*2*2=8*1*1$，
最小值是$8^8*2^{3*2}*1^1=2^30=1073741824$

hujunhua

@KeyTo9_Fans 虽是小题，也不能就这样被你简单打杀了。改一下重来。

`a,x,y,z`为正整数，且`x=ay+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{ay}z^z`的最小值。

倪举鹏

可不可以更难一点，都是正数，条件不变，求（1+x)^x*(1+y)^(3y)*(1+z)^z最小值

hujunhua

`a,x,y,z`为正整数，且`x=ay+2z, yyy=xzz`, 求`x^xy^{ay}z^z`的最小值。

解：如果(a,kx,ky,kz)是条件方程的解，那么(a,x,y,z)也是。所以若 (a,x,y,z) 使得目标函数取得最小值，那么必有 Gcd(x,y,z)=1.

由 Gcd(x,y,z)=1及约束条件 x=ay+z可得Gcd(y.z)=1, 再由yyy=xzz可得 z=1. 代入约束方程得

x=ay+2, yyy=x,即

y^3=ay+2

故必有 y=2, a=3, 代回得 x=8

结果还跟原来一样。