猜猜乐游戏的最佳策略

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我设计了一个猜猜乐游戏。

这个游戏是一局一局地进行的。

每局游戏系统会开出$1$个正整数，其中：

开出$1$的概率是$6/{\pi^2}$；

开出$2$的概率是$6/{4\pi^2}$；

开出$3$的概率是$6/{9\pi^2}$；

开出$4$的概率是$6/{16\pi^2}$；

开出$5$的概率是$6/{25\pi^2}$；

……

依次类推，开出$n$的概率是$6/{n^2 pi^2}$，$n$是没有上限的。

一开始玩家持有$1$枚金币。

每局游戏玩家都可以在一个数或者多个数上下注任意数量的金币，

但所下金币数量的总和不得超过玩家当前持有的金币数。

玩家下注完毕之后，系统才会开出这局游戏的幸运数字，记为$x$。

如果玩家在数字$x$上下注了$m$枚金币，那么玩家可以额外得到$m*(2x^2-1)$枚金币（加上下注的$m$枚金币，玩家一共可以收回$m*2x^2$枚金币）。

也就是说：

猜中数字$1$的赔率是$2$；

猜中数字$2$的赔率是$8$；

猜中数字$3$的赔率是$18$；

猜中数字$4$的赔率是$32$；

猜中数字$5$的赔率是$50$；

……

依次类推，猜中数字$x$的赔率是$2x^2$。

除了幸运数字$x$，系统会把玩家下在其它数字上的金币全部收走，然后一局游戏就结束了。

如果玩家在某局游戏里不幸输光了所有的金币，那么系统会借$1$枚金币给玩家，好让玩家继续玩。

如果玩家不幸再次输光，那么系统会再借$1$枚金币给玩家，

如此反复，玩家可以从系统那里借用的金币数量没有限制，

但只能在输光的时候借，并且每次只能借$1$枚，

如果玩家在某局游戏结束后，持有的金币数量大于$1$枚，

那么下一局游戏开始前，玩家必需把多出来的金币用来偿还借款，

直到借款还清，或者部分还款后，玩家只剩下$1$枚金币，才能开始下一局游戏。

问题$1$：

如果玩家的目标是攒$1$亿枚金币，

并且希望所需局数的期望值尽可能小，

求玩家的最佳策略和所需局数的期望值。

问题$2$：

如果玩家的目标是最大化每局游戏的金币增长速率，

即当所玩局数$N->\infty$时，玩家希望最大化${\log(M)}/N$的值，

$M$是$N$局游戏结束后玩家持有的金币数量，

那么玩家平均每局游戏可以使金币数量增加多少倍？${\log(M)}/N$的极限是多少？

-----

以下是系统随机开出的$1000$个数，供玩家参考：

2 5 2 1 1 2 1 2 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 24 2 2 8 1 22 1 2 7 1 7 1 17 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 5 9 3 38 1 1 1 1 13 24 9 1 8 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 1 1 4 5 4 1 2 1 1 4 2 2 3 1 2 2 1 7 1 2 1 2 1 1 1 5 1 2 4 1 4 1 1 1 1 3 1 9 5 38 1 1 1 7 21 15 2 1 2 12 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 64 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 5 1 1 2 1 3 2 2 1 8 1 1 15 4 1 2 1 1 1 1 1 3 2 2 1 15 2 2 2 1 1 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 3 12 5 1 2 3 1 1 1 1 2 1 1 4 1 7 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 333 4 1 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 76 1 1 1 1 2 2 1 4 1 1 1 4 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 2 5 3 1 1 1 4 1 2 1 10 1 1 1 2 1 1 2 6 1 1 3 4 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 12 2 1 2 1 1 2 1 1 3 2 1 2 1 4 1 86 3 2 1 1 3 1 14 3 1 2 6 1 2 1 6 4 16 1 2 4 1 2 1 3 1 1 1 3 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 6 1 2 1 2 1 1 1 1 13 2 1 1 10 7 1 1 4 4 12 1 2 2 1 1 1 1 4 1 4 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 9 1 1 2 1 9 1 1 1 3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 4 2 2 1 1 1 1 1 1 2 14 2 1 2 1 1 10 4 3 1 1 1 1 1 1 19 1 1 1 1 12 1 2 1 21 9 1 3 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 77 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 5 9 1 1 1 5 1 1 2 7 2 1 2 2 1 3 1 1 2 5 1 1 6 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 1 1 3 12 1 1 1 1 11 1 1 3 3 1 8 1 1 1 1 5 3 1 1 1 1 9 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 5 1 25 1 1 1 1 23 2 1 12 6 1 1 1 2 1 3 1 1 29 1 28 1 8 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 2 8 1 1 1 1 1 3 1 3 4 1 2 1 1 94 2 4 2 6 1 13 1 1 2 2 1 1 2 3 10 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 17 1 1 7 1 1 3 2 2 20 1 1 2 1 1 1 1 1 2 11 1 3 2 64 2 1 12 1 6 1 1 8 1 2 1 3 2 1 1 1 1 3 6 6 1 1 1 5 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 1 10 1 1 5 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 5 1 2 2 2 1 13 1 51 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 153 1 1 1 1 3 6 3 2 13 1 1 1 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 3 1 1 2 1 2 1 2 5 1 1 4 1 1 1 2 3 1 20 1 8 5 1 1 1 4 2 1 2 4 2 1 1 1 1 7 3 13 1 1 1 7 2 1 1 85 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 5 1 5 2 76 1 1 1 1 2 39 2 6 1 3 1 1 1 3 6 8 1 4 2 1 1 1 5 1 1 56 1 2 1 321 1 2 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 4 2 1 1 1 24 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 2

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试玩结果如下（随便玩的，不是最佳策略）：

第1局：                猜1，开12，输光，借1枚；
第2局：                猜1，开3，又输光，再借1枚；
第3局：                猜1，开1，还1枚；
第4局：                猜1，开2，借1枚；
第5局：                猜1，开1，还1枚；
第6局：                猜1，开1，再还1枚，已还清；
第7-9局：        猜1，开1，收益3枚，持有4枚；
第10,11局：        猜1和2，开1，无收益，持有4枚；
第12局：        猜1和2，开3，亏损2枚，持有2枚；
第13,14局：        猜1，开2，输光，借1枚；
第15局：        猜1，开16，又输光，再借1枚；
第16,17局：        猜1，开1，还2枚，已还清；
第18-21局：        猜1，开1，收益4枚，持有5枚；
第22,23局：        猜1和2，开1，无收益，持有5枚；
第24局：        猜1和2，开5，亏损2枚，持有3枚；
第25-39局：        猜1，先亏损后盈利，收益3枚，持有6枚；
第40-47局：        2枚猜1，1枚猜2，开1，收益8枚，持有14枚；
第48局：        2枚猜1，1枚猜2，开2，收益5枚，持有19枚；
第49局：        3枚猜1，1枚猜2，开1，收益2枚，持有21枚；
第50局：        4枚猜1，1枚猜2，开1，收益3枚，持有24枚；
第51局：        4枚猜1，1枚猜2，开16，亏损5枚，持有19枚；
第52局：        2枚猜1，1枚猜2，开1，收益1枚，持有20枚；
第53局：        3枚猜1，1枚猜2，开1，收益2枚，持有22枚；
第54局：        4枚猜1，1枚猜2，开103，亏损5枚，持有17枚；
第55-93局：        2枚猜1，1枚猜2，先亏损后盈利，收益11枚，持有28枚；
第94-111局：        3枚猜1，1枚猜2，收益8枚，持有36枚；
第112-124局：        4枚猜1，1枚猜2，收益15枚，持有51枚；
第125-149局：        5枚猜1，1枚猜2，收益24枚，持有75枚；
第150-158局：        8枚猜1，2枚猜2，1枚猜3，收益29枚，持有104枚；
第159-163局：        12枚猜1，3枚猜2，1枚猜3，收益34枚，持有138枚；
第164-166局：        20枚猜1，4枚猜2，1枚猜3，收益45枚，持有183枚；
第167-177局：        30枚猜1，6枚猜2，2枚猜3，1枚猜4，收益63枚，持有246枚；
第178-184局：        40枚猜1，8枚猜2，3枚猜3，1枚猜4，收益100枚，持有346枚；
第185-208局：        60枚猜1，12枚猜2，4枚猜3，2枚猜4，1枚猜5，收益192枚，持有538枚；
第209-240局：        80枚猜1，16枚猜2，6枚猜3，3枚猜4，2枚猜5，1枚猜6，收益496枚，持有1034枚；
第241-287局：        120枚猜1，30枚猜2，13枚猜3，7枚猜4，4枚猜5，3枚猜6，2枚猜7，1枚猜8，收益1320枚，持有2354枚；
第288-312局：        400,100,44,25,16,11,8,6,5,4,3,3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1枚分别猜1,2,3,...23，收益3976枚，持有6330枚；

金币赚得太多，继续手工投注，手工结算太累了，

于是编个程序自动投注，自动结算，结果如下：

第313局: 开2，盈利1291枚，持有7621枚；
第314局: 开1，盈利1550枚，持有9171枚；
第315局: 开1，盈利1863枚，持有11034枚；
第316局: 开202，亏损9735枚，持有1299枚；
第317局: 开1，盈利278枚，持有1577枚；
第318局: 开1，盈利335枚，持有1912枚；
第319局: 开1，盈利401枚，持有2313枚；
第320局: 开1，盈利483枚，持有2796枚；
第321局: 开1，盈利581枚，持有3377枚；
第322局: 开2，盈利696枚，持有4073枚；
第323局: 开2，盈利835枚，持有4908枚；
第324局: 开1，盈利1007枚，持有5915枚；
第325局: 开1，盈利1210枚，持有7125枚；
第326局: 开2，盈利1450枚，持有8575枚；
第327局: 开2，盈利1741枚，持有10316枚；
第328局: 开9，盈利2088枚，持有12404枚；
第329局: 开3，盈利2496枚，持有14900枚；
第330局: 开1，盈利3007枚，持有17907枚；
第331局: 开1，盈利3616枚，持有21523枚；
第332局: 开1，盈利4335枚，持有25858枚；
第333局: 开2，盈利5206枚，持有31064枚；
第334局: 开1，盈利6246枚，持有37310枚；
第335局: 开2，盈利7491枚，持有44801枚；
第336局: 开96，亏损3525枚，持有41276枚；
第337局: 开1，盈利8294枚，持有49570枚；
第338局: 开31，盈利9075枚，持有58645枚；
第339局: 开7，盈利11731枚，持有70376枚；
第340局: 开2，盈利14115枚，持有84491枚；
第341局: 开2，盈利16939枚，持有101430枚；
第342局: 开1，盈利20341枚，持有121771枚；
第343局: 开1，盈利24416枚，持有146187枚；
第344局: 开20，盈利28922枚，持有175109枚；
第345局: 开3，盈利35108枚，持有210217枚；
第346局: 开6，盈利42156枚，持有252373枚；
第347局: 开3，盈利50640枚，持有303013枚；
第348局: 开5，盈利60799枚，持有363812枚；
第349局: 开2，盈利73051枚，持有436863枚；
第350局: 开2，盈利87746枚，持有524609枚；
第351局: 开1，盈利105439枚，持有630048枚；
第352局: 开1，盈利126683枚，持有756731枚；
第353局: 开1，盈利152226枚，持有908957枚；
第354局: 开10，盈利182932枚，持有1091889枚；
第355局: 开1，盈利219883枚，持有1311772枚；
第356局: 开2，盈利264303枚，持有1576075枚；
第357局: 开1，盈利317747枚，持有1893822枚；
第358局: 开1，盈利382011枚，持有2275833枚；
第359局: 开1，盈利459350枚，持有2735183枚；
第360局: 开1，盈利552382枚，持有3287565枚；
第361局: 开2，盈利664338枚，持有3951903枚；
第362局: 开1，盈利799073枚，持有4750976枚；
第363局: 开2，盈利961208枚，持有5712184枚；
第364局: 开1，盈利1156383枚，持有6868567枚；
第365局: 开2，盈利1391320枚，持有8259887枚；
第366局: 开1，盈利1674151枚，持有9934038枚；
第367局: 开1，盈利2014696枚，持有11948734枚；
第368局: 开1，盈利2424730枚，持有14373464枚；
第369局: 开8，盈利2918468枚，持有17291932枚；
第370局: 开1，盈利3513171枚，持有20805103枚；
第371局: 开2，盈利4229398枚，持有25034501枚；
第372局: 开8，盈利5092082枚，持有30126583枚；
第373局: 开1，盈利6131381枚，持有36257964枚；
第374局: 开1，盈利7383454枚，持有43641418枚；
第375局: 开2，盈利8891986枚，持有52533404枚；
第376局: 开2，盈利10709684枚，持有63243088枚；
第377局: 开1，盈利12900106枚，持有76143194枚；
第378局: 开2，盈利15539821枚，持有91683015枚；
第379局: 开19，盈利18720859枚，持有110403874枚；

根据程序运行的结果，我们发现：

当金币攒到一定数量之后，就可以开启自动投注模式。

自动投注模式会把大部分金币分散投注到尽可能多的数字上，

使得猜中任何一个投了注的数字均可以获得$20%$以上的固定收益。

于是自动投注模式开启后，金币数量以每局$1.2$倍的速度暴涨，很快就达到$1$亿了。

（虽然偶尔会开出没有投注的大数，导致大幅亏损，但概率非常小，

而且每局都留了一部分金币不投，因此不会输光，很快就可以回血复活，继续暴涨）

很期待能找到用最少的局数攒够金币的最佳策略。

KeyTo9_Fans

下载这个附件，解压后就可以玩这个游戏了：

guess.zip (85.71 KB, 下载次数: 3)

2018-1-11 00:02 上传

点击文件名下载附件

玩法如下：



该游戏的目标是用最少的局数攒$1$亿枚金币。