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[提问] 最后一道代数题

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发表于 2017-11-23 21:39:29 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知函数f(x)是定义域在实数集R上的奇函数,当x>=0时,f(x)=1/2(|x-a|+|x-2a|-3|a|)。若集合{x|f(x-2)-f(x)>=0,x∈R}=∅,则实数a的取值范围为
好难,答案是负无穷到1/3,求过程。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2017-11-23 21:41:18 | 显示全部楼层
说实话,上高中以来第一道不会做的题。。。
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发表于 2017-11-24 22:55:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2017-11-24 23:02 编辑

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 楼主| 发表于 2017-11-26 18:08:30 | 显示全部楼层
求过程啊,大神帮帮我吧,谢谢
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发表于 2017-12-7 19:37:10 | 显示全部楼层
……随便分析一下
显然$f(0)=0$,然后$f$在$x>0$有至多两个拐点
于是看来这玩意跟拐点有关,而且关系密切
影响拐点的是a
那么分析a
当$a\le 0$的时候,显然$\frac1 2(|x-a|+|x-2a|-3|a|)$拐点都在$x<0$处,而在$x>0$处f是单调递增的
那么只需要考虑$a>0$的情况
首先如果$f(1)<f(-1)$那就不用做了,由此推出$a<\frac1 2$
这里,我们发现,当$a<\frac1 2$的时候,拐点都集中在$[-2,2]$上,这给了我们不少机会,对$x\in [0,2]$:
由$f(x-2)=-f(2-x)$我们可以把自己的精力进一步局限在[0,2]这个区间上(剩下的部分用单调性解决)
可以看到$x>0$这个区间上,当$x=a$时$f$取到最小值
于是我们只需要考虑$f(2-a)>-f(a)$
不出意外应该可以得到$a<\frac1 3$
这题目其实不难,就是麻烦了点
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 楼主| 发表于 2017-12-7 20:37:40 | 显示全部楼层
谢谢
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发表于 2017-12-12 18:54:01 来自手机 | 显示全部楼层
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发表于 2017-12-13 21:09:58 | 显示全部楼层
把分段函数图像画出来就容易了。
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发表于 2017-12-14 10:56:37 | 显示全部楼层
首先,用在线的Mathematica核实了下,确实是 $a<1/3$
  1. f[x_]:=Piecewise[{{1/2(Abs[x-a]+Abs[x-2a]-3Abs[a]),x>=0},{-1/2(Abs[-x-a]+Abs[-x-2a]-3Abs[a]),x<0}}];
  2. Resolve[ForAll[x,f[x-2]<f[x]],Reals]
复制代码


然后,我觉得此题没啥捷径,就是分段讨论.
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 楼主| 发表于 2017-12-14 20:43:31 | 显示全部楼层
谢啦
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