最后一道代数题

student_qwh

已知函数f（x）是定义域在实数集R上的奇函数，当x>=0时，f（x）=1/2（|x-a|+|x-2a|-3|a|）。若集合{x|f（x-2）-f（x）>=0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为
好难，答案是负无穷到1/3，求过程。

student_qwh

说实话，上高中以来第一道不会做的题。。。

zeroieme

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student_qwh

求过程啊，大神帮帮我吧，谢谢

.·.·.

……随便分析一下
显然$f(0)=0$，然后$f$在$x>0$有至多两个拐点
于是看来这玩意跟拐点有关，而且关系密切
影响拐点的是a
那么分析a
当$a\le 0$的时候，显然$\frac1 2（|x-a|+|x-2a|-3|a|）$拐点都在$x<0$处，而在$x>0$处f是单调递增的
那么只需要考虑$a>0$的情况
首先如果$f(1)<f(-1)$那就不用做了，由此推出$a<\frac1 2$
这里，我们发现，当$a<\frac1 2$的时候，拐点都集中在$[-2,2]$上，这给了我们不少机会，对$x\in [0,2]$：
由$f(x-2)=-f(2-x)$我们可以把自己的精力进一步局限在[0,2]这个区间上（剩下的部分用单调性解决）
可以看到$x>0$这个区间上，当$x=a$时$f$取到最小值
于是我们只需要考虑$f(2-a)>-f(a)$
不出意外应该可以得到$a<\frac1 3$
这题目其实不难，就是麻烦了点

student_qwh

谢谢

wyp

厉害

hujunhua

把分段函数图像画出来就容易了。

wayne

首先，用在线的Mathematica核实了下，确实是 $a<1/3$

1. f[x_]:=Piecewise[{{1/2(Abs[x-a]+Abs[x-2a]-3Abs[a]),x>=0},{-1/2(Abs[-x-a]+Abs[-x-2a]-3Abs[a]),x<0}}];
   
2. Resolve[ForAll[x,f[x-2]<f[x]],Reals]

复制代码

然后，我觉得此题没啥捷径，就是分段讨论．

student_qwh

谢啦