求K值

student_qwh

  a,b 为不等于 1 的非负整数，使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数，求所有的 k 值。

mathe

这个可以写成$a^2-(k-1)ab+b^2+k=0$
对于给定的b,整系数方程$X^2-(k-1)bX+b^2+k=0$必然没有整数解或两个整数解。也就是如果$X=a$是一个整数解，那么$X={b^2+k}/a$必然是另外一个整数解。由此，对于给定的k,如果方程有解(a,b),那么除非$a>=b，a'={b^2+k}/a=(k-1)b-a>=b$,我们必然可以更换为一组更小的解，直到我们找到满足这个不等式条件的解$(a,b),(a',b)$,其中$a'>=a>=b,a+a'=(k-1)b,aa'=b^2+k$
由于满足条件$a+a'=(k-1)b>=2b=>k>=3$时，$a$和$a'$越接近$aa'$越大，我们得出$aa'<=({k-1}/2)^2 b^2,取a=a'={k-1}/2 b$,而且$aa'>=(k-2)b^2，取a=b,a'=(k-2)b$
由此我们得出必须有$(k-2)b^2<=b^2+k<=({k-1}/2)^2 b^2$
其中$b>=2$时，我们有$4(k-3)<=(k-3)b^2<=k$,必然$k<=4$, 其中$k=3$得出$a+a'=2b$所以$a=a'=b$同$aa'=b^2+3$矛盾，舍去.而k=4可以有解$a=b=2$
而$b=1$时，$a,a'$满足方程$x^2-(k-1)x+(1+k)=0$,二次方程判别式为$(k-1)^2-4(k+1)=k^2-6k-3=(k-3)^2-12=D^2$是一个完全平方数
所以我们得出$(k-3-D)(k-3+D)=12$,得出唯一解$k=7$,对应$a=2,a'=4,b=1$

student_qwh

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