69届普特南题目

Mgccl

FancyMouse的枪版. 原版可以在这里找到http://www.unl.edu/amc/a-activit ... utnam/-pdf/2008.pdf
A1，f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=0，证存在g，f(x,y)=g(x)-g(y)

A2，2008*2008的矩阵，A和B轮流填数，A先填，如果填完以后行列式=0则B赢。否则A赢。问B有无必胜策略

A3，正整数数列a1~an，如果aj不整除ak，则可以把这两个数换成它们的gcd和lcm。
证明在有限步以后必定能终止而且最终序列不取决于操作序列

A4，f:R->R, f(x)=x (x<=e) 或者 x*f(lnx) (x>e)。问sigma(n=1~+inf,1/f(x))是否收敛？

A5，n>=3整数，f,g多项式，(f(k),g(k)),k=1~n定义了R^2上的一个正n边形。证明f和g中至少有一个的度数>=n-1

A6，G是有限群，证明存在一个由G的元素组成的长度为O(logn)的序列（可以重复），使得对于任何G的元素x，存在一个刚才序列的子序列，序列各个数的乘积是x

B1，求一个圆心是无理点的圆上最多有几个有理点

B2，令F[0](x)=ln(x),F[n]=Integrate[F[n-1](y),{y,0,x}]，求Lim[n!F[n](1)/ln(n),n->inf]

B3，一个四维单位正方体里可以容纳一个多大的圆

B4，h是整系数多项式，h(0)~h(p^2-1)模p^2互异，证明h(0)~h(p^3-1)模p^3互异

B5，找出所有的可导f:R->R，使得对于任意有理数p/q,(p,q)=1,q正整数，f(p/q)=p'/q，其中(p',q)=1

B6，对于{1,2,...,n}的排列sigma，令sigma是“k-limited”如果对于所有的i，|sigma(i)-i|<=k。证明：所有的k-limited的排列的个数是奇数的充要条件是n=0或1(mod 2k+1)

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印象中普特南的题目都应该是中学竞赛的呀（不过难度不算高）。怎么也有群的概念了？

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普特南是大学竞赛...