三角形正负等角中心间距

陈九章

上述定理的证明，很不容易，敬请各位顶尖高手借助符号软件，给出不一样的证明方法。
（1）仅用三角形的三边长a、b、c，能够表达OE、OF吗？
（2）如果外围三角形是等腰三角形，OE、OF的公式是什么？
请大家赐教！

数学星空

楼上的\(OE,OF\)是下列关于\(x\)方程的两个正根:

\(12(a+b+c)(-c+a+b)(a-b-c)(-b+c+a)(a^{10}-3a^8b^2-3a^8c^2+2a^6b^4+11a^6b^2c^2+2a^6c^4+2a^4b^6-10a^4b^4c^2-10a^4b^2c^4+2a^4c^6-3a^2b^8+11a^2b^6c^2-10a^2b^4c^4+11a^2b^2c^6-3a^2c^8+b^{10}-3b^8c^2+2b^6c^4+2b^4c^6-3b^2c^8+c^{10})x^2+(36(a^4-a^2b^2-a^2c^2+b^4-b^2c^2+c^4))(a+b+c)^2(-c+a+b)^2(a-b-c)^2(-b+c+a)^2x^4+132a^4b^4c^8-92a^4b^6c^6+132a^4b^8c^4-108a^4b^2c^{10}+76a^2b^{12}c^2-108a^{10}b^2c^4-92a^6b^6c^4+52a^6b^2c^8-92a^6b^4c^6+52a^2b^8c^6-108a^2b^{10}c^4+52a^2b^6c^8-108a^4b^{10}c^2+76a^2b^2c^{12}+52a^6b^8c^2+52a^8b^2c^6-108a^{10}b^4c^2+132a^8b^4c^4+76a^{12}b^2c^2+52a^8b^6c^2-108a^2b^4c^{10}+40b^{12}c^4-20b^{14}c^2-20a^2c^{14}+40a^4c^{12}-20a^2b^{14}-44b^{10}c^6-20a^{14}c^2+40a^{12}b^4-20b^2c^{14}+40b^8c^8+40a^8b^8-44a^{10}c^6+40a^{12}c^4-44a^{10}b^6-44a^6c^{10}-20a^{14}b^2-44a^6b^{10}+40a^8c^8+40a^4b^{12}+40b^4c^{12}-44b^6c^{10}+4b^{16}+4c^{16}+4a^{16}=0\)


已验证其正确性，具体可见下列链接中的结果，比较代数式即可

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 75&fromuid=1455   见第一个结果

其它各个心与正负等角中心的间距公式已全部列出（关于\(a,b,c\)的代数方程）

陈九章

辛苦了！谢谢顶级奥数专家，数学星空老师！

陈九章

据说，今年的高考数学题比较难，引起大家议论纷纷。
其实，学数学的最大乐趣，就是解难题。
我当年做数学难题，就像现在的学生玩游戏一样，达到了废寝忘食的“愚蠢”境界！
下面的定理，得到了上列OE、OF公式的相对性推广，证明很难。
望本论坛的顶级高手，借助功能强大的符号软件，给出不一样的证明。

陈九章

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陈九章

陈九章