如果仅适用上面的两种规则，
11*11
21*20.707106781
31*2+10.5
32*2-10.5
42*20.5
52*3-10.471404521
52*2+10.445902906
62*30.471404521
72*3+10.376384967
82*40.353553391
93*4-30.333333333
92*4+10.325619642
103*4-20.333333333
113*4-10.333333333
123*40.333333333
133*4+10.286920880
143*5-10.282842712
153*50.282842712
163*5+10.256443467
174*5-30.25
184*5-20.25
194*5-10.25
204*50.25
214*6-30.235702260
214*5+10.231819095
224*6-20.235702260
234*6-10.235702260
244*60.235702260
254*6+10.211509409
254*7-30.202030509
264*6+2 0.203332
264*7-20.202030509
274*7-10.202030509
284*70.202030509
295*7-60.2
294*7+10.194471728
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-25 07:12 编辑
mathe 发表于 2020-10-24 08:23
如果仅适用上面的两种规则，
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最优解，+2就永远没有最优解了？！
+ 表示歪放的正方形，- 表示正放的正方形
第n行的第一个数=\( \lbrack \sqrt{\frac{n}{\sqrt{2}}}\\rbrack\)
1=1×1
2=1×2
3=1×2+1=2×2-1
4=2×2
5=2×3-1
6=2×3
7=2×3+1
8=2×4
9=3×4-3
10=3×4-2
11=3×4-1
12=3×4
13=3×4+1
14=3×5-1
15=3×5
16=3×5+1
17=4×5-3
18=4×5-2
19=4×5-1
20=4×5
21=4×6-3
22=4×6-2
23=4×6-1
24=4×6
25=4×6+1
26=4×7-2
27=4×7-1
28=4×7
29=5×7-6
30=5×7-5
31=5×7-4
32=5×7-3
33=5×7-2
34=5×7-1
35=5×7
36=5×7+1
37=5×8-3
38=5×8-2
39=5×8-1
40=5×8
41=5×8+1
42=6×8-6
43=6×8-5
44=6×8-4
45=6×8-3
46=6×8-2
47=6×8-1
48=6×8
49=6×9-5
50=6×9-4
51=6×9-3
52=6×9-2
53=6×9-1
54=6×9
55=6×9+1
56=7×9-7
57=7×9-6
58=7×9-5
59=7×9-4
60=7×9-3
61=7×9-2
62=7×9-1
63=7×9
64=7×10-6
65=7×10-5
66=7×10-4
67=7×10-3
68=7×10-2
69=7×10-1
70=7×10
71=7×10+1
72=7×11-5
73=7×11-4
74=7×11-3
75=7×11-2
76=7×11-1
77=7×11
78=8×11-10
79=8×11-9
80=8×11-8
81=8×11-7
82=8×11-6
83=8×11-5
84=8×11-4
85=8×11-3
86=8×11-2
87=8×11-1
88=8×11
89=8×11+1
90=8×12-6
91=8×12-5
92=8×12-4
93=8×12-3
94=8×12-2
95=8×12-1
96=8×12
97=8×12+1
98=9×12-10
99=9×12-9
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-25 11:55 编辑
王守恩 发表于 2020-10-24 19:31
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最 ...
n<30的结果与mathe的基本一致(没逐项核对),可喜
有以下问题与你讨论
1n=8 2x3+2 确实不优于 2x4,但2个歪放的方案仍然理论上仍有可能,需要第一个乘数大于5 ,越大越有可能,待探讨,莫轻言放弃.
2 第一个乘数的公式中求整是下求整还是上求整,还是园求整?,我的计算结果与你的数据不完全相同,原因
3有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?
本帖最后由 王守恩 于 2020-10-25 15:35 编辑
dlpg070 发表于 2020-10-25 11:51
n
1，22楼不是最优解，只是抛砖引玉。
因为：+1有最优解，+2(+3,+4,...)就没有最优解？！
2，第一个乘数我是按四舍五入计算的
对我们来说，找出最优解是目的，
当四舍五入出来的不是最优解时，肯定是要被淘汰的。
3，有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?
详见11楼。谢谢mathe！
\(\D\frac{3+4\sqrt{2}}{23}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+5}\)
其中5=5个正方形=2个正方形+3个正方形
图详见11楼。5是可以换的！
8楼也是这个公式。
后面数字大了，我这手工不好算。
说的仔细一点：
11楼
\(\D\sqrt{2}a=(\sqrt{2}-3a)+(1-2a)\)
\(\D(\sqrt{2}+5)a=\sqrt{2}+1\)
\(\D a=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+5}\)
8楼
\(\D\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}-2a}{2}+(1-a)\)
\(\D(\sqrt{2}+2)a=\sqrt{2}/2+1\)
\(\D a=\frac{\sqrt{2}/2+1}{\sqrt{2}+2}=\frac{1}{2}\)
王守恩 发表于 2020-10-25 12:15
2 第一个乘数我是按四舍五入计算的
3有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?
详 ...
我把计算结果整理出来,
计算结果与数据多处不同,看看我错在哪里
说明:
第1列:n
第2列:公式计算的第1个乘数,此例Round取整
第3列:数据的第1个乘数
第4列:第2个乘数
第5列:排列方式 0:正放,满 1:歪放1个 <0: 正放,不满
最后1列比较公式结果和实际数据,显然有些不同
1 1 1 1 0 True
2 1 1 2 0 True
3 1 1 2 1 True
4 2 2 2 0 True
5 2 2 3 -1 True
6 2 2 3 0 True
7 2 2 3 1 True
8 2 2 4 0 True
9 3 3 4 -3 True
10 3 3 4 -2 True
11 3 3 4 -1 True
12 3 3 4 0 True
13 3 3 4 1 True
14 3 3 5 -1 True
15 3 3 5 0 True
16 3 3 5 1 True
17 3 4 5 -3 False
18 4 4 5 -2 True
19 4 4 5 -1 True
20 4 4 5 0 True
21 4 4 6 -3 True
22 4 4 6 -2 True
23 4 4 6 -1 True
24 4 4 6 0 True
25 4 4 6 1 True
26 4 4 7 -2 True
27 4 4 7 -1 True
28 4 4 7 0 True
29 5 5 7 -6 True
30 5 5 7 -5 True
31 5 5 7 -4 True
32 5 5 7 -3 True
33 5 5 7 -2 True
34 5 5 7 -1 True
35 5 5 7 0 True
36 5 5 7 1 True
37 5 5 8 -3 True
38 5 5 8 -2 True
39 5 5 8 -1 True
40 5 5 8 0 True
41 5 5 8 1 True
42 5 6 8 -6 False
43 6 6 8 -5 True
44 6 6 8 -4 True
45 6 6 8 -3 True
46 6 6 8 -2 True
47 6 6 8 -1 True
48 6 6 8 0 True
49 6 6 9 -5 True
50 6 6 9 -4 True
51 6 6 9 -3 True
52 6 6 9 -2 True
53 6 6 9 -1 True
54 6 6 9 0 True
55 6 6 9 1 True
56 6 7 9 -7 False
57 6 7 9 -6 False
58 6 7 9 -5 False
59 6 7 9 -4 False
60 7 7 9 -3 True
61 7 7 9 -2 True
62 7 7 9 -1 True
63 7 7 9 0 True
64 7 7 10 -6 True
65 7 7 10 -5 True
66 7 7 10 -4 True
67 7 7 10 -3 True
68 7 7 10 -2 True
69 7 7 10 -1 True
70 7 7 10 0 True
71 7 7 10 1 True
72 7 7 11 -5 True
73 7 7 11 -4 True
74 7 7 11 -3 True
75 7 7 11 -2 True
76 7 7 11 -1 True
77 7 7 11 0 True
78 7 8 11 -10 False
79 7 8 11 -9 False
80 8 8 11 -8 True
81 8 8 11 -7 True
82 8 8 11 -6 True
83 8 8 11 -5 True
84 8 8 11 -4 True
85 8 8 11 -3 True
86 8 8 11 -2 True
87 8 8 11 -1 True
88 8 8 11 0 True
89 8 8 11 1 True
90 8 8 12 -6 True
91 8 8 12 -5 True
92 8 8 12 -4 True
93 8 8 12 -3 True
94 8 8 12 -2 True
95 8 8 12 -1 True
96 8 8 12 0 True
97 8 8 12 1 True
98 8 9 12 -10 False
99 8 9 12 -9 False
+1有最优解，+2(+3,+4,...)就没有最优解？！好像是这样，能找出反例来吗？
29个正方形可以考虑如上构图
经计算，上面29个正方形的模式还是不行，没法超越边长$1/5$,
于是我直接跳跃到59的情况，可以得出如下图的情况，采用边长$1/7$,平行线倾斜角度16.260204708度时可以轻松放下59个正方形。
所以如果将倾斜角度再稍微调大一点点，边长就可以更加长一点点。即使59个正方形放不下，56～58个正方形可以找到更优解已经没有任何问题了
上图中取倾斜角度为16.735886895369516302492383471954808726度，边长为0.14303171035464703173444280278977532856，可以正好将59个正方形排好。
所以我们得出59个正方形情况的新的更优方案，对应边长$0.14303171035464703173444280278977532856 \gt 1/7$
角度为18.777381052981629977953868659210665976度时，选择边长为0.14389883022441073091677825317216736206，可以装下58个正方形:
而查看这个图，感觉59个正方形还有更优秀的
本帖最后由 dlpg070 于 2020-10-28 13:39 编辑
王守恩 发表于 2020-10-24 19:31
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最 ...
mathe 21# 29个和王守恩22#数据99个的验算结果
验算中除了平放和1个立放(歪放)外还考虑了个2个立放(歪放),待加入28#的斜放
计算机自动计算,没有人工干预
结果和他们的数据相同,除了2个数 n=26 ,n=56 待深入研究,没有2个立放的情形
发现几个不同构型正方形边长相同的情形:
dlpg070 王守恩
n=9 ,9 =3X3 + 0 a=1/3 = 0.333333 === 9 =3X4 -3a=1/3
n=29,29=5X6-1 a=1/5 = 0.2 === 29=5X7 -6a=1/5
n=30,30=5X6 + 0 a=1/5 = 0.2 === 30=5X7 -5a=1/5
n=42,42=6X7 + 0 a=1/6 = 0.166667 === 42=6X8 -6a=1/6
n=78,78=8X10 -2 a=1/8 = 0.125 === 78=8X11-10 a=1/8
n=79,79=8X10 -1 a=1/8 = 0.125 === 79=8X11-9a=1/8
n=80,80=8X10+ 0 a=1/8 = 0.125 === 80=8X11-8a=1/8
n=98,98=9X11 -1 a=1/9 = 0.111111 === 98=9X12-10 a=1/9
n=99,99=9X11+ 0 a=1/9 = 0.111111 === 99=9X12-9a=1/9