A4正方形

mathe

如果仅适用上面的两种规则，

1	1*1	1
2	1*2	0.707106781
3	1*2+1	0.5
3	2*2-1	0.5
4	2*2	0.5
5	2*3-1	0.471404521
5	2*2+1	0.445902906
6	2*3	0.471404521
7	2*3+1	0.376384967
8	2*4	0.353553391
9	3*4-3	0.333333333
9	2*4+1	0.325619642
10	3*4-2	0.333333333
11	3*4-1	0.333333333
12	3*4	0.333333333
13	3*4+1	0.286920880
14	3*5-1	0.282842712
15	3*5	0.282842712
16	3*5+1	0.256443467
17	4*5-3	0.25
18	4*5-2	0.25
19	4*5-1	0.25
20	4*5	0.25
21	4*6-3	0.235702260
21	4*5+1	0.231819095
22	4*6-2	0.235702260
23	4*6-1	0.235702260
24	4*6	0.235702260
25	4*6+1	0.211509409
25	4*7-3	0.202030509
26	4*6+2	0.203332
26	4*7-2	0.202030509
27	4*7-1	0.202030509
28	4*7	0.202030509
29	5*7-6	0.2
29	4*7+1	0.194471728

王守恩

mathe 发表于 2020-10-24 08:23
如果仅适用上面的两种规则，

应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最优解，+2就永远没有最优解了？！

+ 表示歪放的正方形，- 表示正放的正方形
第n行的第一个数=\( \lbrack \sqrt{\frac{n}{\sqrt{2}}}\  \rbrack\)
1=1×1
2=1×2
3=1×2+1=2×2-1
4=2×2
5=2×3-1
6=2×3
7=2×3+1
8=2×4
9=3×4-3
10=3×4-2
11=3×4-1
12=3×4
13=3×4+1
14=3×5-1
15=3×5
16=3×5+1
17=4×5-3
18=4×5-2
19=4×5-1
20=4×5
21=4×6-3
22=4×6-2
23=4×6-1
24=4×6
25=4×6+1
26=4×7-2
27=4×7-1
28=4×7
29=5×7-6
30=5×7-5
31=5×7-4
32=5×7-3
33=5×7-2
34=5×7-1
35=5×7
36=5×7+1
37=5×8-3
38=5×8-2
39=5×8-1
40=5×8
41=5×8+1
42=6×8-6
43=6×8-5
44=6×8-4
45=6×8-3
46=6×8-2
47=6×8-1
48=6×8
49=6×9-5
50=6×9-4
51=6×9-3
52=6×9-2
53=6×9-1
54=6×9
55=6×9+1
56=7×9-7
57=7×9-6
58=7×9-5
59=7×9-4
60=7×9-3
61=7×9-2
62=7×9-1
63=7×9
64=7×10-6
65=7×10-5
66=7×10-4
67=7×10-3
68=7×10-2
69=7×10-1
70=7×10
71=7×10+1
72=7×11-5
73=7×11-4
74=7×11-3
75=7×11-2
76=7×11-1
77=7×11
78=8×11-10
79=8×11-9
80=8×11-8
81=8×11-7
82=8×11-6
83=8×11-5
84=8×11-4
85=8×11-3
86=8×11-2
87=8×11-1
88=8×11
89=8×11+1
90=8×12-6
91=8×12-5
92=8×12-4
93=8×12-3
94=8×12-2
95=8×12-1
96=8×12
97=8×12+1
98=9×12-10
99=9×12-9

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-24 19:31
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最 ...

n<30的结果与mathe的基本一致(没逐项核对),可喜
有以下问题与你讨论
1  n=8 2x3+2 确实不优于 2x4,但2个歪放的方案仍然理论上仍有可能,需要第一个乘数大于5 ,越大越有可能,待探讨,莫轻言放弃.
2   第一个乘数的公式中求整是下求整还是上求整,还是园求整?,我的计算结果与你的数据不完全相同,原因
3  有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?

王守恩

dlpg070 发表于 2020-10-25 11:51
n

1，22楼不是最优解，只是抛砖引玉。
因为：+1有最优解，+2(+3,+4,...)就没有最优解？！
2，第一个乘数我是按四舍五入计算的
对我们来说，找出最优解是目的，
当四舍五入出来的不是最优解时，肯定是要被淘汰的。
3，有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?
详见11楼。谢谢mathe！

\(\D\frac{3+4\sqrt{2}}{23}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+5}\)

其中5=5个正方形=2个正方形+3个正方形
图详见11楼。5是可以换的！
8楼也是这个公式。
后面数字大了，我这手工不好算。

说的仔细一点：
11楼
\(\D\sqrt{2}a=(\sqrt{2}-3a)+(1-2a)\)
\(\D(\sqrt{2}+5)a=\sqrt{2}+1\)
\(\D a=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+5}\)
8楼
\(\D\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}-2a}{2}+(1-a)\)
\(\D(\sqrt{2}+2)a=\sqrt{2}/2+1\)
\(\D a=\frac{\sqrt{2}/2+1}{\sqrt{2}+2}=\frac{1}{2}\)

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-25 12:15
2   第一个乘数我是按四舍五入计算的
3  有11项含有歪放,如何发现的,是逐项计算比较还是另有高招?
详 ...

我把计算结果整理出来,
计算结果与数据多处不同,看看我错在哪里

说明:
第1列:n
第2列:公式计算的第1个乘数,此例Round取整
第3列:数据的第1个乘数
第4列:第2个乘数
第5列:排列方式 0:正放,满 1:歪放1个 <0: 正放,不满
最后1列比较公式结果和实际数据,显然有些不同

1        1        1        1        0        True
2        1        1        2        0        True
3        1        1        2        1        True
4        2        2        2        0        True
5        2        2        3        -1        True
6        2        2        3        0        True
7        2        2        3        1        True
8        2        2        4        0        True
9        3        3        4        -3        True
10        3        3        4        -2        True
11        3        3        4        -1        True
12        3        3        4        0        True
13        3        3        4        1        True
14        3        3        5        -1        True
15        3        3        5        0        True
16        3        3        5        1        True
17        3        4        5        -3        False
18        4        4        5        -2        True
19        4        4        5        -1        True
20        4        4        5        0        True
21        4        4        6        -3        True
22        4        4        6        -2        True
23        4        4        6        -1        True
24        4        4        6        0        True
25        4        4        6        1        True
26        4        4        7        -2        True
27        4        4        7        -1        True
28        4        4        7        0        True
29        5        5        7        -6        True
30        5        5        7        -5        True
31        5        5        7        -4        True
32        5        5        7        -3        True
33        5        5        7        -2        True
34        5        5        7        -1        True
35        5        5        7        0        True
36        5        5        7        1        True
37        5        5        8        -3        True
38        5        5        8        -2        True
39        5        5        8        -1        True
40        5        5        8        0        True
41        5        5        8        1        True
42        5        6        8        -6        False
43        6        6        8        -5        True
44        6        6        8        -4        True
45        6        6        8        -3        True
46        6        6        8        -2        True
47        6        6        8        -1        True
48        6        6        8        0        True
49        6        6        9        -5        True
50        6        6        9        -4        True
51        6        6        9        -3        True
52        6        6        9        -2        True
53        6        6        9        -1        True
54        6        6        9        0        True
55        6        6        9        1        True
56        6        7        9        -7        False
57        6        7        9        -6        False
58        6        7        9        -5        False
59        6        7        9        -4        False
60        7        7        9        -3        True
61        7        7        9        -2        True
62        7        7        9        -1        True
63        7        7        9        0        True
64        7        7        10        -6        True
65        7        7        10        -5        True
66        7        7        10        -4        True
67        7        7        10        -3        True
68        7        7        10        -2        True
69        7        7        10        -1        True
70        7        7        10        0        True
71        7        7        10        1        True
72        7        7        11        -5        True
73        7        7        11        -4        True
74        7        7        11        -3        True
75        7        7        11        -2        True
76        7        7        11        -1        True
77        7        7        11        0        True
78        7        8        11        -10        False
79        7        8        11        -9        False
80        8        8        11        -8        True
81        8        8        11        -7        True
82        8        8        11        -6        True
83        8        8        11        -5        True
84        8        8        11        -4        True
85        8        8        11        -3        True
86        8        8        11        -2        True
87        8        8        11        -1        True
88        8        8        11        0        True
89        8        8        11        1        True
90        8        8        12        -6        True
91        8        8        12        -5        True
92        8        8        12        -4        True
93        8        8        12        -3        True
94        8        8        12        -2        True
95        8        8        12        -1        True
96        8        8        12        0        True
97        8        8        12        1        True
98        8        9        12        -10        False
99        8        9        12        -9        False

王守恩

+1有最优解，+2(+3,+4,...)就没有最优解？！好像是这样，能找出反例来吗？

mathe

29个正方形可以考虑如上构图

mathe

经计算，上面29个正方形的模式还是不行，没法超越边长$1/5$,
于是我直接跳跃到59的情况，可以得出如下图的情况，采用边长$1/7$,平行线倾斜角度16.260204708度时可以轻松放下59个正方形。
所以如果将倾斜角度再稍微调大一点点，边长就可以更加长一点点。即使59个正方形放不下，56～58个正方形可以找到更优解已经没有任何问题了

mathe

上图中取倾斜角度为16.735886895369516302492383471954808726度，边长为0.14303171035464703173444280278977532856，可以正好将59个正方形排好。
所以我们得出59个正方形情况的新的更优方案，对应边长$0.14303171035464703173444280278977532856 \gt 1/7$

角度为18.777381052981629977953868659210665976度时，选择边长为0.14389883022441073091677825317216736206，可以装下58个正方形:

而查看这个图，感觉59个正方形还有更优秀的

dlpg070

王守恩 发表于 2020-10-24 19:31
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最 ...

mathe 21# 29个和王守恩22#数据99个的验算结果
验算中除了平放和1个立放(歪放)外还考虑了个2个立放(歪放),待加入28#的斜放
计算机自动计算,没有人工干预
结果和他们的数据相同,除了2个数 n=26 ,n=56 待深入研究,没有2个立放的情形
发现几个不同构型正方形边长相同的情形:


dlpg070                              王守恩
n=9 ,9 =3X3 + 0 a=1/3 = 0.333333 === 9 =3X4 -3  a=1/3
n=29,29=5X6  -1 a=1/5 = 0.2      === 29=5X7 -6  a=1/5
n=30,30=5X6 + 0 a=1/5 = 0.2      === 30=5X7 -5  a=1/5
n=42,42=6X7 + 0 a=1/6 = 0.166667 === 42=6X8 -6  a=1/6
n=78,78=8X10 -2 a=1/8 = 0.125    === 78=8X11-10 a=1/8
n=79,79=8X10 -1 a=1/8 = 0.125    === 79=8X11-9  a=1/8
n=80,80=8X10+ 0 a=1/8 = 0.125    === 80=8X11-8  a=1/8
n=98,98=9X11 -1 a=1/9 = 0.111111 === 98=9X12-10 a=1/9
n=99,99=9X11+ 0 a=1/9 = 0.111111 === 99=9X12-9  a=1/9