A4正方形

mathe

同样模拟70#的17边形方案可以得出37边形存在比楼上更好的解，因为用楼上的边长做图存在可以继续放大的余地，如图三条倾斜平行线中间部分偏大
但是这时最优值计算比较复杂


a=0.1787193095137
角度 0.98705657796

dlpg070

mathe 发表于 2020-11-4 22:04
同样模拟70#的17边形方案可以得出37边形存在比楼上更好的解，因为用楼上的边长做图存在可以继续放大的余地 ...

n=26的混排再学习
n=26的混排出神入化,重新计算画图,体会其奥妙

结果发现:
1 混排的真谛是"舍得",例如 n=26=4x6+2 混排时拆分 n=4x6-2+4即舍弃2个正方形,得到4个斜放的正方形
  舍得的方法有多种,需挖空心思
2 n=26代表其中一类,对许多n可以得到更优解(不一定最优)
  参看图形,分析由p3,p4,p5组成的红色三角形,得
求解方法:
u列数 v=行数 d=舍弃得正方形个数  f=增加斜排正方形个数

1. u = 4; v = 6; d = 2; f = 4;
   
2. sol = NSolve[{(d*x + 1 - u x)^2 + (d*x + Sqrt[2] - v x)^2 - (f*x)^2 ==
   
3.       0,
   
4.     1 - u x >= 0,
   
5.     Sqrt[2] - v x >= 0, (1 - u x)^2 + (Sqrt[2] - v x)^2 >= x^2,
   
6.     x > 0}, {x}, Reals, WorkingPrecision -> 40];  

复制代码

如果sol为空,则表示不能如此排列
3 n=26可以有结构类似的6个排法
4 暂时发现的混排类型,找到几十个例子后,可能发现更多规律
  n=26
  n=13
  n=17
  n=37

A4正方形混排_26_0_20201102.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-11-5 13:39
n=26的混排再学习
n=26的混排出神入化,重新计算画图,体会其奥妙

利用所介绍的公式,计算6个例子,
结果比  其它结果更好,比斜排的也更好.与mathe混排的例子结果相同,有一定通用性
采用2个自定义函数 f26 ,f25
n=26 +2属于此类 f26: {0.207107,0.171573,0.171573}
n=56 +2属于此类  f26: {0.144954,0.130277,0.10963}
n=119 +2属于此类  f26: {0.102053,0.0815261,0.0875291}
n=25平方数属于此类 f25: {0.211521,0.153917,0.145089}
n=16平方数属于此类 f25: {0.257981,0.226057,0.124308}
n=36平方数属于此类 f25: {0.180396,0.0980204,0.151442}

mathe

n=21很可惜不行

mathe

f25模式也就是中间两个倾斜正方形的，可能可以有
13      {C2 3*4}         0.289245
16      {C2 3*5}         0.257981
25      {C2 4*6}         0.211521
36      {C2 5*7}         0.180396
41      {C2 5*8}         0.168771
55      {C2 6*9}         0.147191
71      {C2 7*10}        0.131169
89      {C2 8*11}        0.118766
97      {C2 8*12}        0.112948
118     {C2 9*13}        0.103109
141     {C2 10*14}       0.095162
205     {C2 12*17}       0.079421
235     {C2 13*18}       0.074730
316     {C2 15*21}       0.064631
409     {C2 17*24}       0.056956
561     {C2 20*28}       0.048934
876     {C2 25*35}       0.039374
而f26模式也就是中间4个倾斜正方形的，可能可以有
26      {C4 4*6}         0.207107
37      {C4 5*7}         0.176910
72      {C4 7*10}        0.129426
但是没有找到更多的优秀解了

王守恩

mathe 发表于 2020-10-28 12:37
上图中取倾斜角度为16.735886895369516302492383471954808726度，边长为0.1430317103546470317344428027897 ...

而查看这个图，感觉59个正方形还有更优秀的
N[Maximize[{x,  Sin[a] + 9/Cos[a] <= Sqrt[2]/ x,
(Tan[a] + 7)^2 - (Sin[a] + 2/Cos[a])^2 == 1/x^2,
    1/( x Tan[a] + 7 x) == Cos[a] , \[Pi]/4 > a > 0}, {x, a}], 50]
{0.14454534876329365004391562676167261987257544790100,
{x ->0.14454534876329365004391562676167261987257544790100,
  a -> 0.31716932503254784510613709467645065436039468440352}}

dlpg070

mathe 发表于 2020-11-5 18:37
n=21很可惜不行

我把我的错误的图形发出来,看能否改进一下,有否希望?
计算太复杂,希望mathe用专用几何画图软件试一试
为了观察方便,,有意去掉中间的斜排正方形
出错在于倾斜角度,中间的斜排正方形有覆盖,
看图形:

待改进21正方形

我的排列方法不一样,修改倾斜角,大于现有数值,(正方形的边不平行于虚线,红色斜线与张方形的2个顶点重合? )
中间部分会加大,有否可能放1个斜排正方形?  抱有一线希望
A4正方形混排_21_0_20201106.png

mathe

对于$k=m\times n+1$个小正方形情况，我们可以批量查看如上图的一系列阶梯情况，其中小正方形边长$a$,横向空隙宽度$b=1-m a$, 纵向空隙宽度$c=\sqrt{2} - n a$
其中阶梯有$u$级，我们需要添加会$u+1$个方向一致的倾斜小正方形。很显然我们有限制$ 0\lt a \lt \frac{1}{m}, 0 \lt a \lt \frac{\sqrt{2}}n$
如上图中虚线长度为$\sqrt{b^2+c^2} \ge a$, 红色三角形斜边长度为$\sqrt{(b+u a)^2+(c+u a)^2}$

而准确的模型限制要求$ (u a +b) \cos(t) + (u a+c) \sin(t) \ge (u+1) a, b\sin(t)+c\cos(t) \ge a, \sqrt{b^2+c^2} \ge a$。
显然，对于比较小的u得到的a,b,c,t,我们简单将上面表达式中u替换为更大的数据后，由于a比b和c都大，第一条不等式左边将变大，也就是左边等号依旧成立，所以应该优先选择更大的u，结果不会变差。
所以我们总是可以先将u尽量大，也就是可以选择$u=m-2$,然后优先考虑选择等式$\sqrt{b^2+c^2} = a$, 如果这时前两个不等式都成立，那么就是这种模式的最优解。
如果前两个不等式至少有一项不成立，我们选择将前两个不等式变为等式来尝试求解
21个正方形这种方法算出a好像等于0.23662517346949717940557688263486995542

而模型限制如果改为$ (u a +b) \cos(t) + (u a+c) \sin(t) \ge (u+2) a, b\sin(t)+c\cos(t) \ge a, \sqrt{b^2+c^2} \ge a$，那么就可以达到$k=m\times n+2$个小正方形，如26个正方形最优解情况。

mathe

根据楼上的边长a可以继续计算出倾斜角t=0.29711760978386352789685727578189903461,然后就可以做图了：


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2020-11-7 21:36 上传

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而这种方案如果在中间改为塞入4个正方形变成总共22个正方形的情况，边长就要减少到0.22765735149545568777055599740308856732，不是最优的

另外如果计算29个正方形(4*7+1),采用这种方法达到0.19903472824106969308388042321099303786，略小于0.2而惜败。

mathe

使用88#的方案，可以更新37个正方形的方案为5*7加中间倾斜5个正方形.
得出边长0.18037780158026112748024305278847994123，倾斜角0.53058446152690121760881841164325451407

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