A4正方形

hujunhua

mathe 发表于 2021-1-4 07:58
两个正方形不相交的充分必要条件是其中一个正方形的四个顶点都在另一个正方形某条边所在直线的外侧。

如 ...

两个大小相同的正方形`A_1A_2A_3A_4`和`B_1B_2B_3B_4`是否有重叠，就看四条边是否相交。
逐个计算边-边交点，如果碰到有一个相交，两个正方形就有重叠，
直到16个交点都不在边上（即在至少其中一边的延长线上），则两正方形就不相重叠。

如果两个正方形都用它的四个顶点来表示，那么判断两个正方形的边是否相交的算法如下。
正方形A的边`A_iA_j`上的点为`α(A_j-Ai)+A_i`,(`0≤α≤1`,即`α(1-α)≥0`)
正方形B的边`B_kB_l`上的点为`β(B_l-B_k)+B_k`,(`0≤β≤1`,即`β(1-β)≥0`)
它们的交点可以用方程`α(A_j-Ai)+A_i=β(B_l-B_k)+B_k`，即\[
(A_i-A_j,B_l-B_k)\begin{pmatrix}α\\β\end{pmatrix}=A_i-B_k
\]的解`(α,β)`来表示，当且仅当`α(1-α)≥0∧β(1-β)≥0`时两边相交，否则不相交。

uk702

hujunhua 发表于 2021-1-4 10:22
两个大小相同的正方形`A_1A_2A_3A_4`和`B_1B_2B_3B_4`是否有重叠，就看四条边是否相交。
逐个计算边- ...

我原先的想法跟胡老师的方法一样，但在 n=9 时试了试，只走了第一步就感觉无法走下去了，个人觉得关键是要搞定如何整体调整，mathe 老师的方法或许是条道。

另外一种思路是，先用 T0 的方法把 u*v 个小正方形摆好，再用平移(包括斜向平移) + 裁减若干正放的小正方 + 到处开窗来尝试，这种思路可能可以打破局部性，难点依旧是如何处理斜放的正方形， mathe 老师想来这方面很拿手。

dlpg070

dlpg070 发表于 2021-1-3 09:13
EN=15不够大,改为EN=20 ,排行表更新到附件sqrt2_1_20210101.txt
初步比较与sqrt2.out一致
最新统计 ...

一直在思考把n=17和n=27 扩展成2个混排类,分析发现:
n=17 和 n=27 排列方案的特点:

1 二者都是页面中心{1/2,Sqrt[2]/2}旋转对称
2 上下斜放正方形上下到顶
3 b 或 c的空白条,左右不靠边,最大
4 n=17单排,n=27双排,另外n=26 135#有双排例子
依以上特征可以构造新得排列方案,或构型
暂称 f17 ,f27 (Ts,Td,Tm---?)
双排还可以扩展为多排 :3排,4排,5排,---
或许将得到许多优秀解,期待sqrt.c的新版本


下面是重新整理的几个例子:
A4正方形混排_17_0_20201114.png
A4正方形混排_27_0_20201114.png
uk702135_20210114.png


A4正方形混排_17_0_20201114.png

n=17

n=17图形以O={1/2,Sqrt[2]/2}为旋转中心对称,单列混排,
当时画图不严密,中间的斜放正方形应斜向移动,使O在中心

A4正方形混排_27_0_20201114.png

n=27

n=27图形以O={1/2,Sqrt[2]/2} 为旋转中心对称,双列混排
,OE  或EF 用于检验解的合理性 OE大于2.5a ,EF大于5 a
底部斜放正方形不靠边,

uk702135_20210114.png

n=26

n=26图形以O={1/2,Sqrt[2]/2} 为旋转中心对称,双列混排,
与n=27的区别:底部2个斜放正方形交错,靠边

mathe

https://erich-friedman.github.io/packing/squinsqu/
这个链接里面有正方形里面放正方形的，很类似