A4正方形

dlpg070

uk702 发表于 2020-12-24 08:55
我个认为随着 n 的增加，多行斜排、包括团排可能是必然会出现的。

为讨论方便,附件:sqrt2_1_20201218.txt,给出1000以内的已知最优解,精度为小数点后11位,可以用于分析图形的交叉

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2020-12-24 13:52 上传

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20201218版本,已知最优解的统计如下:
sqrt2_1_20201218.txt
DType    输出类型标志
I, T0,
Tk,      Tk    39       +k立排
T2V,     2V
T2H,     2H     1
LV,      LV     9
LH,      LH     1
V,       V:   291
H,       H:     0     ?
C2,      C2e    0    e是有意加的?
C4,      C4     0
Cu1,     Cu1    0
Cu2,     Cu2    6
dV,      dV     0
dH,      dH     0
Cm,      Cm   106
Cm2      Cm2   20
------------------
              473(可能有小误差)
平放仍占多数  526 (重复验算,确认)
完全斜排居第二位(V H LV LH )
第三位是 Cm 混排
17,27 的特殊排法,因没有发现规律,暂没有考虑

uk702

n=9 是一个很奇特的个案。目前最优方案其顶部足足空出能够容纳多一行的空间（导致 n=9 和 n=12 的最化解是一样的）。
不知右下图的构型有没有可能突破 a=0.33333333。

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-12-24 13:53
为讨论方便,附件:sqrt2_1_20201218.txt,给出1000以内的已知最优解,精度为小数点后11位,可以用于分析图 ...

n=17,n=27的优秀解详细清单,
特殊解太优秀了,期待采用17或27 类似布局的新构图,得到一批新优秀解


n=17 前8个优秀解
17        T0:4*5-3                                     0.25000000000(0.75130095501)
17        3*5+2V                                       0.24689818528(0.73277343944)
17        {V: n=4,u=5,w=5,s=1,t=0.43138944782}         0.24681144486(0.73225865305)
17        {V: n=4,u=5,w=5,s=2,t=0.43138944782}         0.24681144486(0.73225865305)
17        {V: n=5,u=4,w=5,s=1,t=0.82478891971}         0.24225014349(0.70544313170)
17        {V: n=5,u=4,w=5,s=2,t=0.82478891971}         0.24225014349(0.70544313170)
17        3*5+2H                                       0.24187034470(0.70323288395)
17        {H: n=6,u=9,w=3,s=4,t=0.39000000000}         0.23849894778(0.68376498663)
特殊处理的特解:
17  {70#:u=3,v5,d=3,w=5,t=0.54381491918}   0.25290961912(0.76889071883) 优秀
----------------
n=27 前8个优秀解
27        T0:4*7-1                                     0.20203050891(0.77926053437)
27        {V: n=5,u=9,w=5,s=4,t=0.43574987448}         0.20182208067(0.77765348879)
27        {V: n=6,u=3,w=7,s=1,t=0.77865765334}         0.20106701659(0.77184560267)
27        {V: n=5,u=4,w=7,s=1,t=0.40603031509}         0.20046326074(0.76721722897)
27        {V: n=5,u=4,w=7,s=2,t=0.40603031509}         0.20046326074(0.76721722897)
27        {H: n=7,u=14,w=4,s=7,t=0.15000000000}         0.20000656595(0.76372546706)
27        T0:5*7-8                                     0.20000000000(0.76367532368)
27        {V: n=7,u=5,w=6,s=1,t=0.91070438810}         0.19676277150(0.73915348464)
双排特殊解:
27  {112#:u=4,v=6,d=6,w=9,t=0.0.78539816339} 0.20497349087(0.80212889556) 优秀

mathe

$1\times\sqrt{2}$比例比较特殊，9个正方形上面倾斜的边界方案边长还是正好$1/3$,无法增加一点点

uk702

我们知道，10*10的正方形最多可以容纳106个直径为1的圆，其主要做法就是交错排列。
那么，当 n 足够大时，是否可以抽出其中的若干行，使得边长、倾角及 √2 恰好能最佳配合（比如刚好能多排一行），
这种交错排列也能构成也是本题的一种很好的解法？

假如 n=10，“理想”情况下，应该是每行排 “8.42 个正方形”，排 “11.89 行”，这样就拼成 “100.114 个正方形”。
但是我们显然无法在每条边上排出“小数”个正方形，我觉得交错排列的形式不妨视作是每条边排 “小数” 个正方形的一种变化。

如右图所示，如果按 45° 正斜排的方式，
排1行的话，每行高度是 1.414，不划算；
排2行的话，2行的总高度是 2.132 > 2，还是不划算；
排3行的话，3行的总高度是 2.8283 < 3，只考虑高度的话，开始变得划算。

mathe

另外一种情况更加不行，通常这种破坏对称性的行为不会导致好的结果，边长选择$1/3$做图会放不下

outofrange.ggb (27.89 KB, 下载次数: 0)

2020-12-26 09:24 上传

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mathe

uk702 发表于 2020-12-26 07:46
我们知道，10*10的正方形最多可以容纳106个直径为1的圆，其主要做法就是交错排列。
那么，当 n 足够大时， ...

这种你可以认为是52#方案的特例

mathe

前面我们发现的58个正方形的最好结果是V类型的，可以如下做图

a58.ggb (67.59 KB, 下载次数: 1)

2020-12-26 10:20 上传

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上图中红色虚线小正方形表示，如果我们分别把最上面的3个小正方形和最小面两个小正方摆正，都可以发现摆正的小正方形可以完全放下，而且会略微有点空余
（上面的非常接近摆满，但是稍微有一点点盈余，下面盈余略大）。
这表明V型不是n=58的最优结果。
由于上面的V型摆放首先有基本条件$(\sin(t)+7\cos(t))a=1$
如果我们让两部分红色正方形正好摆满各自可用空间，那么代表点$(1-2a,a), (3a,\sqrt{2}-a)$分别落在两条倾斜的直线上，所以它们连线在向量$(-\sin(t),\cos(t))$上投影为8a,得到额外方程$(1-5a)\sin(t)+(\sqrt{2}-2a)\cos(t)-8a=0$, 求得更优结果t=0.34070935607722498059872487809071844201,a=0.14426307248406164114335778661887603954.

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2020-12-26 10:49 上传

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(ggb文件忘了加后缀了，自己改名一下）

dlpg070

mathe 发表于 2020-12-26 10:23
前面我们发现的58个正方形的最好结果是V类型的，可以如下做图

为了寻找斜排为主,平放为辅的排列方案的优秀解,显然需要先画图分析,
1000以内V型优秀解有291个,考虑多个s ,需要画1000个精确地图形,这是一个艰巨任务
我有个想法,在MMK模仿countV 建立函数fcount,自动画图
下面是2个例子:
1 n=58 (n=7,u=5,w=10,s=1)
A4斜排_58s1_20201228.

s=1

利用这张图,顶部平放4个,底部平放1个,是否有更优解,或与s=2 相同?
2 n=58 (n=7,u=5,w=10,s=2)

s=2

A4斜排_58s2_20201228.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-12-31 11:09
为了寻找斜排为主,平放为辅的排列方案的优秀解,显然需要先画图分析,
1000以内V型优秀解有291个,考虑多 ...

再贴出2张图片,显示更丰富,有助进一步分析
1个n=99, 显然顶部摆平3个正方形,底部摆平2个正方形,空隙较大,a可以较大提高,可以和Cm Tk比较
   计算,画图和保存,共耗时1.25秒
另一个n=999 ,摆平后改进不明显
A4斜排_999s17_20201231.png

n999

A4斜排_99s6_20201231.png

n99

如无特殊需要,不再贴出这类图片,可能把几百张图片打包为附件,新年好!