A4正方形

mathe

7 2*3+1 0.376385
26 4*6+2 0.211509
56 6*9+2 0.147081
57 6*9+3 0.147081
72 7*10+2 0.131106
73 7*10+3 0.131106
91 8*11+3 0.118261
92 8*11+4 0.118261
99 8*12+3 0.112739
100 8*12+4 0.112739
119 9*13+2 0.103109
120 9*13+3 0.103109
121 9*13+4 0.103109

数学星空

对于mathe于141#给出的图例及142#提供的计算公式

我们可以得到连续单排斜放\(u*v+w\)类型(\(w\)为斜放数目)

\(\left(\sin(t)+\sqrt{2}\cos(t)+\frac{2\tan(t)}{\cos(t)}\right)\left(2u\sin(t)\tan(t)+2\sin(t)+2\tan(t)+w\right)-\left(\sqrt{2}\sin(t)+\cos(t)+2\sin(t)\tan(t)\right)\left(2u\sin(t)+\frac{2u\tan(t)}{\cos(t)}+2\cos(t)+\frac{2}{\cos^2(t)}\right)=0\)

\(w=[\sqrt{u^2+(v-2)^2}]\),\([ ]\)为向上取整符号


\(a=\frac{\cos(t)+\sqrt{2}\sin(t)+2\sin(t)\tan(t)}{2\sin(t)+2\tan(t)+2u\sin(t)\tan(t)+w}\)

dlpg070

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2020-12-15 14:41 上传

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mathe 发表于 2020-12-15 08:32
7 2*3+1 0.376385
26 4*6+2 0.211509
56 6*9+2 0.147081

148#的图形太漂亮了,
这里用MMA代码仿制一份,给出编号,便于精确定位,扩大后可画出这里各个解
n=57

45度斜放样板

hujunhua

56采用楼上拿去中间 r2 的布置，可能不是最优。

拿掉 r2 后， 21，22，27，28，33，34可以如下图左所示向中间移动，可使8和47斜置， 这种6×9-2+4可能还有优化余地。
把右上角的局部布置向下移动至邻近左下角，可得到下图右所示的6×9-4+6布置。

56=6×9-2+4

56=6×9-4+6

@mathe  以上两图取 $a=(1+\sqrt2)/(15+\sqrt2)=0.14708067207723466674091319344814$时，
在`x=-y`方向刚好搭接无重叠，由楼上的图保证，直观上有重叠是由于线条有宽度。
在`x=y`方向无重叠，则由作图直观保证，显然在`x=y`方向长度宽绰的很。

mathe

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dlpg070

hujunhua 发表于 2020-12-16 10:20
56采用楼上拿到中间 r2 的布置，可能不是最优。

拿掉 r2 后， 21，22，27，28，33，34可以如下图左所示 ...

n=56的 已知优秀解 a:
1.{Cu2 方案}          
  a=0.146447
2. 141# 左下右上最大斜排方案 143#计算结果:
  a= 0.1494368771077263159870765260561506543783

3. 148# 45度斜排十字方案
  a= 0.147081
4. 155#
  a=0.147191

dlpg070

mathe 发表于 2020-12-15 08:32
7 2*3+1 0.376385
26 4*6+2 0.211509
56 6*9+2 0.147081

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可编辑

n=100 8*12+4 的图形
图中空白很少,对于n=100应接近最佳

n=100 148#布局

A4_100_3_20201215.png

dlpg070

mathe 发表于 2020-12-16 12:18

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155#GGB提取数据,供编辑参考
a56ggb提取.png

155#

图中左下角有2条线段应隐藏,未改
是优秀解,感觉应该有更优解,
1 左下不靠边,右上不靠边可能更好 ,类似148# r1 ---,但t不是45度
2 左下右上到达底部和顶部有否可能?

mathe

155#这种模式下如果横向最多 u 个，纵向可以最多放下 v 个，那么正向放置的正方形有 u(v-1) 个。
边长 a 不大于纵缝和横缝交叠矩形的对角线长，有$(1-u a)^2+(\sqrt{2}-v a)^2 \ ge a^2$, 即$$(u^2+v^2-1)a^2-2(u+\sqrt{2}v)a+3≥0$$由此可得a的最大可能值。
在取到最大值时，左下倾斜正方形所能到达的最左下位置在左下角所切的三角形直角边正是纵横缝宽，右上也是一样，
图中带红圈的两点连线向量显然为$ua(1,1)$, 所以中间能够摆放倾斜正方数数目最多为\[\frac{ua(1,1)\*(\sqrt{2}-v a, 1-u a)}{a^2}=\frac{(\sqrt2-va)+(1-ua)}au
\]比如u=8,v=12时，得出$a\le 0.11294820533727936699737825874993908351$,而在$a=0.11294820533727936699737825874993908351$时，
得出斜向摆放正方形数目不超过10.996152097426306615551353248969515726，所以最多放10个倾斜正方形，总共最多8*(12-1)+10=98个正方形。
而99个正方形以上时就摆不下了，需要稍微调整角度和大小

hujunhua

148#两图的优化，都能达到155#的边长。
斜缝宽度方向恰好搭接无重叠，这可由155#的图来保证，只需要看看长度方向够不够就行。