A4正方形

uk702

dlpg070 发表于 2020-11-28 19:46
n=27的验算,按uk702方法,修改了 r1数据 113#的a t和图形都正确,通过测试
我按公式计算
为观察覆盖,暂 ...

@dlpg070，我也没什么好招，一开始是打开 geogebra 手工抄，后来上网查，可以使用“记录到表格”这个功能，然后再从表格中拷贝出来。

另外，导出成 PSTricks 代码，然后从中提取出相关坐标可能更方便。

uk702

uk702 发表于 2020-11-29 11:00
@dlpg070，我也没什么好招，一开始是打开 geogebra 手工抄，后来上网查，可以使用“记录到表格”这个功 ...

还有这番神操作，服了！如你所言，它内部用的都是3d 坐标，转为 2d 坐标直接除以 z 的值就可以了， 比如说 #113 的 O 点，文件中是
<coords x="0.2898762907103744" y="0.840494837158503" z="1.4142135623730951"/>
因此，
x = 0.2898762907103744/1.4142135623730951 = 0.20497349086650873，它在界面上显示的是  0.2049734909
y = 0.840494837158503/1.4142135623730951 = 0.5943195989070604，它在界面上显示的是  0.5943195989

至于 z 为什么是 1.4142135623730951 就不明白了。

维基上有一些介绍，我粗略扫了一眼，似乎缺少真正关键的信息。
https://wiki.geogebra.org/en/Reference:File_Format
https://wiki.geogebra.org/en/Reference:Common_XML_tags_and_types

uk702

还是 n=27 的情况，这样的一种构型有没有可能让它容纳的小正方形的边长更长？
GH这个矩形估计是没辙了，每个小正方形的边长增加后，这两个点还要继续进一受到挤压。

uk702

@王守恩 可能其中有一些显然的事实我就是搞不清楚~，除非 GH 就是黄色矩形的对角线。

如图，黄色矩形 GH 是有向上抬的空间，假如我们让它沿着 alpha 的方向斜着向上抬，显然它只会侵占 Y 的空间，现在小正方形 Y被拿掉了，因此，至少如果保持长度 a 不变的话，它是有上移空间的。
当小正方形的长度 a 增长后，GH 的长度受到压缩，如果黄色矩形的对角线与 GH 更加靠近，只要 GH 不是黄色矩形的对角线，好像也有调整的空间。

至于矩形 X、Y 被拿掉后改成斜摆，不是问题。

mathe

123#的思路应该可以让27个小正方形超过0.206

如上图0.206边长的已经可以排放成功，其中极值情况这三种颜色的点都应该和对应颜色的边接触。而我这里实际制作中只有橙色是接触的，另外两种颜色都是分离的，所以还有明显改善空间
只是计算会比较复杂.
这个题目至少有三个参数（边长以及两类正方形倾斜角），大家可以试着用解析几何利用三面三个条件列出方程然后给出数值解。

mathe

计算结果边长a为0.20710609377879319617653101412764259133
其中中间三正方形倾斜角度t1为0.87103340983807804437240006822175221534，
两边小正方形倾斜角度t2为1.0596596174136673215767790716243531973

满足条件
$a=(sqrt(2)*cos(t1)+sin(t1))/(4*cos(t1)+2*sin(t1)*cos(t1)+2*sin(t1)+3)$
$(1-3*a)*sin(t2)+(sqrt(2)-6*a)*cos(t2)-2*a=0$
\(\left|\begin{matrix}1& -\frac1{\tan(t2)}& a+\frac{a}{\tan(t2)}+\frac{2a}{\sin(t2)}\\ 1&\tan(t2)&2a-(1-2a)\tan(t2)\\1&-\frac {1}{\tan(t1)}&2a+\frac{1-a-a\cos(t1)}{\tan(t1)}\end{matrix}\right|=0\)


p27.ggb (54.23 KB, 下载次数: 3)

2020-12-2 19:20 上传

点击文件名下载附件

我们可以发现现在27个正方形结果的边长几乎达到了26个正方形已知最优结果。感觉26和25个正方形很可能还可以继续优化

mathe

楼上三条方程第一条方程代表中间三个正方形正好左右撑满，即粉红色点接触粉红色边。
第二条方程代表绿色点处两个并排正方形正好撑满左右两个突出顶点。而第三条方程代表红色点接触红色边。
其中第二条方程可以将a表示为t2的函数，这个函数在t2=1.1475353992638180693309919143107225805时有最大值a=0.20731795816007595663838595129040459670
所以如果我们去除第一条方程的约束（于是中间只能有两个正方形了），然后让第二条方程中a最大，然后在挑选t1使得这时第三条方程也成立，
就可能可以得出边长为0.20731795816007595663838595129040459670的26个正方形图形。

mathe

n=26的极值情况应该需要满足方程:
\(\left|\begin{matrix}1&-\frac1{\tan(t2)}&a(1+\frac1{\tan(t2)}+\frac2{\sin(t2)})\\
1&\tan(t2)&2a-(1-2a)\tan(t2)\\
1&\frac1{\sin^2(t1)}&a\cos(t1)+\frac1{\sin(t1)}(\frac a{\tan(t1)}+\frac{a-1}{\sin(t1)})\end{matrix}\right|=0\) （这个方程即第三条方程对于t1的导函数）
再加上26#的第二条和第三条方程。但是这个数值求解对我有点困难，pari/gp好像只能处理单变量的方程。

uk702

我将 #126 楼的几个数据代入，算出行列式的值为 -1.007645452756089169140300821841052067，并不为 0，不知那里错了？
同样试着解 #128 的方程，似乎会解出 a->0。

数学星空

按照mathe 128#给出的n=26时的方程

\(\left|\begin{matrix}1&-\frac1{\tan(t2)}&a(1+\frac1{\tan(t2)}+\frac2{\sin(t2)})\\
1&\tan(t2)&2a-(1-2a)\tan(t2)\\
0&\frac1{\sin^2(t1)}&a\cos(t1)+\frac1{\sin(t1)}(\frac a{\tan(t1)}+\frac{a-1}{\sin(t1)})\end{matrix}\right|=0\)

$(1-3*a)*sin(t2)+(sqrt(2)-6*a)*cos(t2)-2*a=0$

\(\left|\begin{matrix}1& -\frac1{\tan(t2)}& a+\frac{a}{\tan(t2)}+\frac{2a}{\sin(t2)}\\ 1&\tan(t2)&2a-(1-2a)\tan(t2)\\1&-\frac {1}{\tan(t1)}&2a+\frac{1-a-a\cos(t1)}{\tan(t1)}\end{matrix}\right|=0\)

将三角函数代换：\(\tan(\frac{t1}{2})=m,\tan(\frac{t2}{2})=n\)简化上面方程得到

[a*m^6*n^4 - 2*a*m^6*n^3 + m^6*n^4 + 10*a*m^6*n^2 + 5*a*m^4*n^4 + 2*a*m^6*n - 6*a*m^4*n^3 - 2*m^6*n^2 + 3*m^4*n^4 - 3*a*m^6 + 34*a*m^4*n^2 - 5*a*m^2*n^4 + 6*a*m^4*n - 6*a*m^2*n^3 + m^6 - 6*m^4*n^2 + 3*m^2*n^4 - 7*a*m^4 + 14*a*m^2*n^2 - a*n^4 + 6*a*m^2*n - 2*a*n^3 + 3*m^4 - 6*m^2*n^2 + n^4 - 17*a*m^2 + 6*a*n^2 + 2*a*n + 3*m^2 - 2*n^2 - 5*a + 1, a*m^4*n^4 - 2*a*m^4*n^3 + m^4*n^4 + 10*a*m^4*n^2 - 4*a*m^3*n^3 - 2*a*m^2*n^4 + 2*a*m^4*n - 8*a*m^3*n^2 - 2*m^4*n^2 + 4*m^3*n^3 - 3*a*m^4 + 20*a*m^3*n - 4*a*m^2*n^2 - 4*a*m*n^3 + a*n^4 - 8*a*m*n^2 + 2*a*n^3 + m^4 - 4*m^3*n + 4*m*n^3 - n^4 - 2*a*m^2 + 20*a*m*n - 6*a*n^2 - 2*a*n - 4*m*n + 2*n^2 + 5*a - 1, -sqrt(2)*n^2 + 4*n^2*a - 6*n*a + sqrt(2) - 8*a + 2*n]


解得：
{a = 0.20716844281037212074653956988084087120427093162765, m = 0.57376249355678927730002565653453480701043880740254, n = 0.5953508075350799053088957662020132353793505159293, t1 = 1.0418075270915226156504161245040707866725580121834, t2 = 1.0739879272066767994424416392246284907126061344054}