A4正方形

dlpg070

王守恩 发表于 2020-11-13 09:40
要不，再试试，配29楼的图(就是想找一条不太复杂的路)。
N[Maximize[{x,  Sin[a] + 9/Cos[a] == Sqrt[ ...

应王守恩要求,画出他的计算结果
正方形斜排_58_0_20201116.png

王守恩 n=58的斜放最优解

图形与mathe 29#的图片完全一样,最右下面的正方形超出范围,
a= 0.14454739220050282675767501620556770052146223059727
t= 0.31701919575895094968539766420448742446683382996871
实际是n=58 的最大值

王守恩

dlpg070 发表于 2020-11-16 19:40
应王守恩要求,画出他的计算结果
正方形斜排_58_0_20201116.png

这题目真是揪心，想立几根打不败的路杆也不容易。

第1串数：1, 4, 12, 20, 35, 48, 63, 88, ....好像没有被打败。\(a(n)=n*Floor[n*\sqrt{2}]\)
1表示在边长为 \(\sqrt{2}×1\) 的A4纸上最多可以裁剪出 1个边长是\(\frac{1}{1}\) 正方形
4表示在边长为 \(\sqrt{2}×1\) 的A4纸上最多可以裁剪出 4个边长是\(\frac{1}{2}\) 正方形
12表示在边长为\(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出12个边长是\(\frac{1}{3}\)正方形
20表示在边长为\(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出20个边长是\(\frac{1}{4}\)正方形
35表示在边长为\(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出35个边长是\(\frac{1}{5}\)正方形

第2串数：2, 6, 8, 15, 24, 28, 40, 54, 70, 77, ....好像被打败了？\(a(n)=n*Floor[\frac{n}{\sqrt{2}}]\)
2表示在边长为 \(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出 2 个边长是\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)正方形
6表示在边长为 \(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出 6 个边长是\(\frac{\sqrt{2}}{3}\)正方形
8表示在边长为 \(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出 8 个边长是\(\frac{\sqrt{2}}{4}\)正方形
15表示在边长为\(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出15个边长是\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)正方形
24表示在边长为\(\sqrt{2}×1\)的A4纸上最多可以裁剪出24个边长是\(\frac{\sqrt{2}}{6}\)正方形

王守恩

王守恩 发表于 2020-11-17 12:00
这题目真是揪心，想立几根打不败的路杆也不容易。

第1串数：1, 4, 12, 20, 35, 48, 63, 88, ....好像 ...

这题目真是揪心，想立几根打不败的路杆也不容易。至少：
第1串数中的第 1, 3,  5 , 17, 29, 99, 169, 577,  985, ...项是不可能被打败的。
第2串数中的第 2, 3, 10, 17, 58, 99, 338, 577, 1970, ...项是不可能被打败的。

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-11-16 19:40
应王守恩要求,画出他的计算结果
正方形斜排_58_0_20201116.png

n=59的最新更优解
t= 0.33774,a= 0.14328 已经验证
sqrt2.out:59        {V: n=7,u=9,w=9,s=3,t=0.292096}         0.143032
n=58,n=59连续出现更优解,预示将有更多项纪录被改写

参见图片文件:"A4正方形斜排_59_0_20201116.png"

n=59斜排

代码:

1. 
   
2. (*n=59 解方程法*)
   
3. Clear[sol, x, a];
   
4. sol = NSolve[{ Tan[a] + 7 x/Cos[a] == Sqrt[2],
   
5.     (Sqrt[2] - 9 x/Cos[a]) == x Sin[a] ,
   
6.     (x Sin[a]/Cos[a] + 7 x)^2 - (x Sin[a] + 2 x/Cos[a])^2 <= 1,
   
7.     x > 0,
   
8.     \[Pi]/4 > a > 0}, {x, a}];
   
9. a = x /. Last[sol];
   
10. t = a /. Last[sol];

复制代码

mathe

应该还可以
\(\begin{cases}2a\sin(t)+\frac{11a}{\cos(t)}-\tan(t)=\sqrt{2}\\
8a\sin(t)+\frac{9a}{\cos(t)}-\tan(t)=\sqrt{2}\\
14a\sin(t)+\frac{7a}{\cos(t)}-\tan(t)=\sqrt{2}\\
7a\cos(t)+a\sin(t)\le 1\end{cases}\)
得到$t=0.36486382811348318172739832990666034770,a=0.14382354080676255463455429944272057108$
这个方案会上下边都正好和三个点接触，但是左右会有一点点空隙，其中\(7a\cos(t)+a\sin(t)=0.99181125111800073928602745427315441870\)表明左右空余1%都不到

dlpg070

有趣的更优解,看来sqrt2.out有新版本了.
n=59 mathe 105#更优解
am= 0.14382354080676255463455429944272057107690729831597
tm= 0.36486382811348318172739832990666034769825295702386
tm= 20.905157447889299032928958365289129765507059767951 度

n=59 dlpg070 104# 更优解
ap= 0.14328047579262554464093479094964365426460666033496
tp= 0.33773996215153457443886171841444839084327059597291
tp= 19.351074404191093121459396664589566602538330339498 度
角度增加1.5度,边长略有增加
am 略大于ap
am= 0.143 82354080676255463455429944272057107690729831597
ap= 0.143 28047579262554464093479094964365426460666033496
-------------xxxxxxxxxxx

1. Clear[sol,t,a];
   
2. sol=NSolve[{
   
3. 2 a Sin[t]+11 a/Cos[t]-Tan[t]==Sqrt[2],
   
4. 8 a Sin[t]+9 a/Cos[t]-Tan[t]==Sqrt[2],
   
5. 14 a Sin[t]+7 a/Cos[t]-Tan[t]==Sqrt[2],
   
6. 7 a Cos[t]+a Sin[t]<=1,
   
7. a>0,
   
8. \[Pi]/4 > t > 0}, {a, t},WorkingPrecision->50];
   
9. am=a/.Last[sol];
   
10. tm=t/.Last[sol];

复制代码

mathe

252个正方形:t=0.261799    a= 0.072215
sqrt2.tgz (12.06 KB, 下载次数: 6)

2020-11-19 12:48 上传

点击文件名下载附件

更新后的数据和代码，重新修改了计算小正方形数目的代码。
不过新方案贡献度不大

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-11-18 15:54
有趣的更优解,看来sqrt2.out有新版本了.
n=59 mathe 105#更优解
am= 0.14382354080676255463455429944272 ...

105#的图形
A4正方形斜排105楼_59_0_20201116.png

105楼n=59图形

1 上部增加矩形CEFD 高=Tan[t]
2 下部增加矩形ABHG 高=Tan[t]
3 正方形斜线与斜虚线平行
4 布局上下对称
5 方程专为n=59设计,省去计数,如果方程无解,表示排放失败,这方法优点突出
6 已验算
7 可对其他n类似处理 ,关键在于研究设计通用的方程参数

dlpg070

mathe 发表于 2020-11-18 22:51
252个正方形:t=0.261799    a= 0.072215

更新后的数据和代码，重新修改了计算小正方形数目的代码。

迫不及待的走马看花浏览一遍,
介绍如下:
新sqrt.c 增加2个处理排列类型 LV,LH (粗略观察)
sqrt2.out
LV有11个实例
59 59        {LV n=7,u=2,w=11,s=1,t=0.364864} 0.143824
252 252        {LV n=14,u=2,w=22,s=1,t=0.261799} 0.072215
381 381        {LV n=17,u=4,w=26,s=1,t=0.205758} 0.059280
382 382        {LV n=17,u=4,w=26,s=2,t=0.205758} 0.059280
437 437        {LV n=18,u=4,w=27,s=1,t=0.126340} 0.055598
438 438        {LV n=18,u=4,w=27,s=2,t=0.126340} 0.055598
592 592        {LV n=21,u=4,w=32,s=1,t=0.169918} 0.047845
654 654        {LV n=22,u=6,w=33,s=1,t=0.144876} 0.045597
910 910        {LV n=26,u=2,w=40,s=1,t=0.169918} 0.038751
972 972        {LV n=27,u=2,w=42,s=1,t=0.205758} 0.037469
996 996        {LV n=27,u=8,w=40,s=1,t=0.112047} 0.037104
LH有1个实例
846        {LH n=35,u=5,w=29,s=1,t=0.144876} 0.040172

n=59,252的最新解列入LV类,处理仍需计数函数,算法仍有改进空间
n=58的最新解没有列入,

dlpg070

王守恩 发表于 2020-11-13 09:40
要不，再试试，配29楼的图(就是想找一条不太复杂的路)。
N[Maximize[{x,  Sin[a] + 9/Cos[a] == Sqrt[ ...

99# 公式的问题 修改代码和图形演示

王守恩99#的代码虽然可执行,仍然有问题
问题在于
    (x Sin[a]/Cos[a] + 7 x)^2 - (x Sin[a] + 2 x/Cos[a])^2 <= 1,
   
改正为  a Sin[t]+ 7 a Cos[t] <= 1

改正后代码:

1. (*王守恩  解方程法 ,求最大值法与此等效 *)
   
2. Clear[sol, a, t];
   
3. sol = NSolve[{ Tan[t] + 7 a/Cos[t] == Sqrt[2],
   
4.     (Sqrt[2] - 9 a/Cos[t]) == a  Sin[t] ,
   
5.     (*(x Sin[a]/Cos[a] + 7 x)^2 - (x Sin[a] + 2 x/Cos[a])^2 <= 1,
   
6.     err *)
   
7.     a Sin[t] + 7 a Cos[t] <= 1,
   
8.     a > 0,
   
9.     \[Pi]/4 > t > 0}, {a, t}, WorkingPrecision -> 50];
   
10. a = a /. Last[sol];
    
11. t = t /. Last[sol];
    
12. 
    

复制代码

改正后结果:

a= 0.14328047579262554464093479094964365426460666033496
t= 0.33773996215153457443886171841444839084327059597291
t= 19.351074404191093121459396664589566602538330339498 度
图形:
A4正方形斜排_59_1_20201116.png

n=59 99#斜排改进

经验算:
恰好排放59个正方形
是n=59的较优解
优于原版sqrt2.out
不如新版sqrt2.out