A4正方形

mathe

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2020-10-29 16:16 上传

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在geogebra中打开上面的文件，修改变量a和b(就是表格中$\theta$)，然后移动矩形左边边上的蓝色动点，找到合适的结果后就可以判断出大概结果了

dlpg070

mathe 发表于 2020-10-29 14:00
42应该可以找到更优结果

我在验算中加深对公式的体会,为移植做准备
发现 2组数异常  (5,6) false
1        3        8        6        0.183732        0.628017        0.183732        True
2        4        8        6        0.176837        0.542446        0.176837        True
3        5        8        6        0.171471        0.453344        0.171471        True
4        6        8        6        0.167764        0.365788        0.167764        True
5        3        9        6        0.164399        0.16584        0.167805        False
6        2        9        6        0.164615        0.113913        0.174828        False
7        2        7        6        0.211093        0.843197        0.211093        True
8        3        7        6        0.201067        0.778658        0.201067        True
9        4        7        6        0.192109        0.708927        0.192109        True
10        5        7        6        0.184444        0.635687        0.184444        True
11        6        7        6        0.178221        0.561585        0.178221        True
12        7        7        6        0.173466        0.489896        0.173466        True
13        8        7        6        0.170055        0.42378        0.170055        True
14        9        7        6        0.167753        0.365454        0.167753        True
15        10        6        6        0.171685        0.457522        0.171685        True
16        11        6        6        0.169374        0.408115        0.169374        True
17        12        6        6        0.167748        0.365297        0.167748        True

mathe

是什么异常?是到不了42吗？很可能正好差一点点，这不算异常，肉眼判断有误差。

mathe

https://www.wolframalpha.com/inp ... +x+from+0+to+Pi%2F4

王守恩

王守恩 发表于 2020-10-24 19:31
应该还有更好的吧？心里没底。
先往前走一走，看能不能找出什么来。
+2不是最优解(目前为止)，+1有最 ...

整理一下，大家补充。
这里用 “最优解” 不对，
很多 “最优解” 是错的，希望大家来否认。
用  “-” 表示正放的正方形为 “平凡解”
用 “+” 表示歪放的正方形为 “非平凡解”
如何用“非平凡解” 来超越(替换) “平凡解” ，
不好找，但至少有这些“最优解”在作路标。

1=1×1-0， 最优解=1/1
2=1×2-0， 最优解=\(\sqrt{2}/2\)
3=1×2+1，最优解=\((\sqrt{2}/2+1)/(\sqrt{2}+2)\)
4=2×2-0， 最优解=1/2
5=2×3-1， 最优解=\(\sqrt{2}/3\)
6=2×3-0， 最优解=\(\sqrt{2}/3\)
7=2×3+1，最优解=\(\sqrt{2}/2+1)/(\sqrt{2}+5)\)
8=2×4-0， 最优解=\(\sqrt{2}/4\)
9=3×4-3， 最优解=1/3
10=3×4-2，最优解=1/3
11=3×4-1，最优解=1/3
12=3×4-0，最优解=1/3
13=3×4+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+7)\)
14=3×5-1，最优解=\(\sqrt{2}/5\)
15=3×5-0，最优解=\(\sqrt{2}/5\)
16=3×5+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+8)\)
17=4×5-3，最优解=1/4
18=4×5-2，最优解=1/4
19=4×5-1，最优解=1/4
20=4×5-0，最优解=1/4
21=4×6-3，最优解=\(\sqrt{2}/6\)
22=4×6-2，最优解=\(\sqrt{2}/6\)
23=4×6-1，最优解=\(\sqrt{2}/6\)
24=4×6-0，最优解=\(\sqrt{2}/6\)
25=4×6+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+10)\)
26=4×6+2 ,最优解=\((\sqrt{2}+1/2)/(\sqrt{2}+8)\)
27=4×7-1，最优解=\(\sqrt{2}/7\)
28=4×7-0，最优解=\(\sqrt{2}/7\)
29=5×7-6，最优解=1/5
30=5×7-5，最优解=1/5
31=5×7-4，最优解=1/5
32=5×7-3，最优解=1/5
33=5×7-2，最优解=1/5
34=5×7-1，最优解=1/5
35=5×7-0，最优解=1/5
36=5×7+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+12)\)
37=5×8-3，最优解=\(\sqrt{2}/8\)
38=5×8-2，最优解=\(\sqrt{2}/8\)
39=5×8-1，最优解=\(\sqrt{2}/8\)
40=5×8-0，最优解=\(\sqrt{2}/8\)
41=5×8+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+13)\)
42=6×8-6，最优解=1/6
43=6×8-5，最优解=1/6
44=6×8-4，最优解=1/6
45=6×8-3，最优解=1/6
46=6×8-2，最优解=1/6
47=6×8-1，最优解=1/6
48=6×8-0，最优解=1/6
49=6×9-5，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
50=6×9-4，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
51=6×9-3，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
52=6×9-2，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
53=6×9-1，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
54=6×9-0，最优解=\(\sqrt{2}/9\)
55=6×9+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+15)\)
56=7×7+10最优解=0.144547
57=7×7+10最优解=0.144547
58=7×7+10最优解=0.144547
59=7×7+10最优解=0.144547
60=7×9-3，最优解=1/7
61=7×9-2，最优解=1/7
62=7×9-1，最优解=1/7
63=7×9-0，最优解=1/7
64=7×10-6，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
65=7×10-5，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
66=7×10-4，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
67=7×10-3，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
68=7×10-2，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
69=7×10-1，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
70=7×10-0，最优解=\(\sqrt{2}/10\)
71=7×10+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+17)\)
72=7×11-5，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
73=7×11-4，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
74=7×11-3，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
75=7×11-2，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
76=7×11-1，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
77=7×11-0，最优解=\(\sqrt{2}/11\)
78=8×11-10 ,最优解=1/8
79=8×11-9，最优解=1/8
80=8×11-8，最优解=1/8
81=8×11-7，最优解=1/8
82=8×11-6，最优解=1/8
83=8×11-5，最优解=1/8
84=8×11-4，最优解=1/8
85=8×11-3，最优解=1/8
86=8×11-2，最优解=1/8
87=8×11-1，最优解=1/8
88=8×11-0，最优解=1/8
89=8×11+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+19)\)
90=8×12-6，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
91=8×12-5，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
92=8×12-4，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
93=8×12-3，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
94=8×12-2，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
95=8×12-1，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
96=8×12-0，最优解=\(\sqrt{2}/12\)
97=8×12+1 ,最优解=\((\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}+20)\)
98=9×12-10 ,最优解=1/9
99=9×12-9，最优解=1/9

mathe

最新优秀结果有:
t=0.84319732988612588871505025997156949250,a=0.21109316983775262375595251551396532145
u=2,w=7,n=6,s=1,count=26 (倾斜角度过大，结果不正确，所以需要淘汰）

t=0.36545410693014515444270921536988309673,a=0.16775306684206013529595703204783519261
u=9,w=7,n=6,s=4,count=42


t=0.35261477117440510335693282826905897862,a=0.14462020362101984418383091057632114332
u=11,w=8,n=7,s=2,count=56 x
u=11,w=8,n=7,s=3,count=56 x
u=11,w=8,n=7,s=5,count=56


t=0.34750383766837417615997749979180727526,a=0.14446416401400974562507418496145876530
u=8,w=9,n=7,s=2,count=57

u=8,w=9,n=7,s=3,count=57


t=0.33417170548414636098123931275678502730,a=0.14407638036216420593081274814527300415
u=5,w=10,n=7,s=2,count=58


t=0.29209632956556980592576832814416376485,a=0.14303171035464703173444280278977532856
u=9,w=9,n=7,s=3,count=59

u=9,w=9,n=7,s=4,count=59

dlpg070

在如下条件 ( 正放,1个立放,2个立放) 求解条件最优解, n<=1200,结果如下
1个立放的条件最优解 有 39项,略去清单
2个立放的条件最优解 有 11项,
2个以上立放的可能有,没有统计
不知考虑3立放以后还剩多少,不知考虑斜排后,还能剩下多少
mylist各元素说明:{n:正方形个数,u:列数,v:行数,w:修正数 <0 空余数,>0 立放个数,a:正方形边长,an:边长的近似值,nh:水平立放个数,nv:垂直立放数,0:未用}
\(\begin{array}{lll}
26 & 1 & \left\{26,4,6,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+6\right)+4},0.203332,2,0,0\right\} \\
56 & 1 & \left\{56,6,9,2,\frac{\sqrt{2}+2}{2 \sqrt{2}+21},0.143283,0,2,0\right\} \\
119 & 1 & \left\{119,9,13,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+13\right)+9},0.101205,2,0,0\right\} \\
178 & 1 & \left\{178,11,16,2,\frac{\sqrt{2}+2}{2 \sqrt{2}+38},0.0836234,0,2,0\right\} \\
282 & 1 & \left\{282,14,20,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+20\right)+14},0.0673682,2,0,0\right\} \\
370 & 1 & \left\{370,16,23,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+23\right)+16},0.0590548,2,0,0\right\} \\
470 & 1 & \left\{470,18,26,2,\frac{\sqrt{2}+2}{2 \sqrt{2}+62},0.0526654,0,2,0\right\} \\
632 & 1 & \left\{632,21,30,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+30\right)+21},0.0456698,2,0,0\right\} \\
761 & 1 & \left\{761,23,33,2,\frac{\sqrt{2}+2}{2 \sqrt{2}+79},0.0417241,0,2,0\right\} \\
964 & 1 & \left\{964,26,37,2,\frac{2 \sqrt{2}+1}{2 \left(\sqrt{2}+37\right)+26},0.0372312,2,0,0\right\} \\
1122 & 1 & \left\{1122,28,40,2,\frac{\sqrt{2}+2}{2 \sqrt{2}+96},0.0345469,0,2,0\right\} \\
\end{array}\)

mathe

对于类似n=64的情况，我们需要考虑另外一个方向的连续倾斜情况，为此，可以将A4纸横过来放置，类似得出约束方程:
\(\begin{cases}(u\sin(\theta)+\frac{w}{\cos(\theta)})a-\sqrt{2}\tan(\theta)=1\\(\sin(\theta)+n\cos(\theta))a=\sqrt{2}\end{cases}\).

王守恩

王守恩 发表于 2020-10-30 14:40
整理一下，大家补充。
这里用 “最优解” 不对，
很多 “最优解” 是错的，希望大家来否认。

有超越33楼的吗？
我心里有点发虚了。

mathe

选择边长为$\frac{sqrt{2}}{11}$可以做出上图，说明这种模式对于74个正方形可以有超越$\frac{sqrt{2}}{11}$的解。