同样模拟70#的17边形方案可以得出37边形存在比楼上更好的解，因为用楼上的边长做图存在可以继续放大的余地，如图三条倾斜平行线中间部分偏大
但是这时最优值计算比较复杂
a=0.1787193095137
角度 0.98705657796
mathe 发表于 2020-11-4 22:04
同样模拟70#的17边形方案可以得出37边形存在比楼上更好的解，因为用楼上的边长做图存在可以继续放大的余地 ...
n=26的混排再学习
n=26的混排出神入化,重新计算画图,体会其奥妙
结果发现:
1 混排的真谛是"舍得",例如 n=26=4x6+2 混排时拆分 n=4x6-2+4即舍弃2个正方形,得到4个斜放的正方形
舍得的方法有多种,需挖空心思
2 n=26代表其中一类,对许多n可以得到更优解(不一定最优)
参看图形,分析由p3,p4,p5组成的红色三角形,得
求解方法:
u列数 v=行数 d=舍弃得正方形个数f=增加斜排正方形个数
u = 4; v = 6; d = 2; f = 4;
sol = NSolve[{(d*x + 1 - u x)^2 + (d*x + Sqrt - v x)^2 - (f*x)^2 ==
0,
1 - u x >= 0,
Sqrt - v x >= 0, (1 - u x)^2 + (Sqrt - v x)^2 >= x^2,
x > 0}, {x}, Reals, WorkingPrecision -> 40];
如果sol为空,则表示不能如此排列
3 n=26可以有结构类似的6个排法
4 暂时发现的混排类型,找到几十个例子后,可能发现更多规律
n=26
n=13
n=17
n=37
A4正方形混排_26_0_20201102.png
本帖最后由 dlpg070 于 2020-11-5 17:11 编辑
dlpg070 发表于 2020-11-5 13:39
n=26的混排再学习
n=26的混排出神入化,重新计算画图,体会其奥妙
利用所介绍的公式,计算6个例子,
结果比其它结果更好,比斜排的也更好.与mathe混排的例子结果相同,有一定通用性
采用2个自定义函数 f26 ,f25
n=26 +2属于此类 f26: {0.207107,0.171573,0.171573}
n=56 +2属于此类f26: {0.144954,0.130277,0.10963}
n=119 +2属于此类f26: {0.102053,0.0815261,0.0875291}
n=25平方数属于此类 f25: {0.211521,0.153917,0.145089}
n=16平方数属于此类 f25: {0.257981,0.226057,0.124308}
n=36平方数属于此类 f25: {0.180396,0.0980204,0.151442}
n=21很可惜不行
f25模式也就是中间两个倾斜正方形的，可能可以有
13 {C2 3*4} 0.289245
16 {C2 3*5} 0.257981
25 {C2 4*6} 0.211521
36 {C2 5*7} 0.180396
41 {C2 5*8} 0.168771
55 {C2 6*9} 0.147191
71 {C2 7*10} 0.131169
89 {C2 8*11} 0.118766
97 {C2 8*12} 0.112948
118 {C2 9*13} 0.103109
141 {C2 10*14} 0.095162
205 {C2 12*17} 0.079421
235 {C2 13*18} 0.074730
316 {C2 15*21} 0.064631
409 {C2 17*24} 0.056956
561 {C2 20*28} 0.048934
876 {C2 25*35} 0.039374
而f26模式也就是中间4个倾斜正方形的，可能可以有
26 {C4 4*6} 0.207107
37 {C4 5*7} 0.176910
72 {C4 7*10} 0.129426
但是没有找到更多的优秀解了
mathe 发表于 2020-10-28 12:37
上图中取倾斜角度为16.735886895369516302492383471954808726度，边长为0.1430317103546470317344428027897 ...
而查看这个图，感觉59个正方形还有更优秀的
N + 9/Cos <= Sqrt/ x,
(Tan + 7)^2 - (Sin + 2/Cos)^2 == 1/x^2,
1/( x Tan + 7 x) == Cos , \/4 > a > 0}, {x, a}], 50]
{0.14454534876329365004391562676167261987257544790100,
{x ->0.14454534876329365004391562676167261987257544790100,
a -> 0.31716932503254784510613709467645065436039468440352}}
本帖最后由 dlpg070 于 2020-11-7 16:14 编辑
mathe 发表于 2020-11-5 18:37
n=21很可惜不行
我把我的错误的图形发出来,看能否改进一下,有否希望?
计算太复杂,希望mathe用专用几何画图软件试一试
为了观察方便,,有意去掉中间的斜排正方形
出错在于倾斜角度,中间的斜排正方形有覆盖,
看图形:
我的排列方法不一样,修改倾斜角,大于现有数值,(正方形的边不平行于虚线,红色斜线与张方形的2个顶点重合? )
中间部分会加大,有否可能放1个斜排正方形?抱有一线希望
A4正方形混排_21_0_20201106.png
对于$k=m\times n+1$个小正方形情况，我们可以批量查看如上图的一系列阶梯情况，其中小正方形边长$a$,横向空隙宽度$b=1-m a$, 纵向空隙宽度$c=\sqrt{2} - n a$
其中阶梯有$u$级，我们需要添加会$u+1$个方向一致的倾斜小正方形。很显然我们有限制$ 0\lt a \lt \frac{1}{m}, 0 \lt a \lt \frac{\sqrt{2}}n$
如上图中虚线长度为$\sqrt{b^2+c^2} \ge a$, 红色三角形斜边长度为$\sqrt{(b+u a)^2+(c+u a)^2}$
而准确的模型限制要求$ (u a +b) \cos(t) + (u a+c) \sin(t) \ge (u+1) a, b\sin(t)+c\cos(t) \ge a, \sqrt{b^2+c^2} \ge a$。
显然，对于比较小的u得到的a,b,c,t,我们简单将上面表达式中u替换为更大的数据后，由于a比b和c都大，第一条不等式左边将变大，也就是左边等号依旧成立，所以应该优先选择更大的u，结果不会变差。
所以我们总是可以先将u尽量大，也就是可以选择$u=m-2$,然后优先考虑选择等式$\sqrt{b^2+c^2} = a$, 如果这时前两个不等式都成立，那么就是这种模式的最优解。
如果前两个不等式至少有一项不成立，我们选择将前两个不等式变为等式来尝试求解
21个正方形这种方法算出a好像等于0.23662517346949717940557688263486995542
而模型限制如果改为$ (u a +b) \cos(t) + (u a+c) \sin(t) \ge (u+2) a, b\sin(t)+c\cos(t) \ge a, \sqrt{b^2+c^2} \ge a$，那么就可以达到$k=m\times n+2$个小正方形，如26个正方形最优解情况。
根据楼上的边长a可以继续计算出倾斜角t=0.29711760978386352789685727578189903461,然后就可以做图了：
而这种方案如果在中间改为塞入4个正方形变成总共22个正方形的情况，边长就要减少到0.22765735149545568777055599740308856732，不是最优的
另外如果计算29个正方形(4*7+1),采用这种方法达到0.19903472824106969308388042321099303786，略小于0.2而惜败。
使用88#的方案，可以更新37个正方形的方案为5*7加中间倾斜5个正方形.
得出边长0.18037780158026112748024305278847994123，倾斜角0.53058446152690121760881841164325451407