论坛 › 难题征解 › 格点正方形，可否发现一个新数列？

hujunhua 发表于 2012-5-28 23:44:39

格点正方形，可否发现一个新数列？

一个nxxn的方格点阵，大大小小的正方形可以数出多少个来？
比较有趣的问题若要把这些正方形破坏得一个不剩，至少需要从中抹去多少个点？

geslon 发表于 2012-5-29 06:11:16

n=5，我就乱了脑子了。

gxqcn 发表于 2012-5-29 09:14:11

这道题有点意思。。。

wayne 发表于 2012-5-29 10:59:35

1# hujunhua
第一问简单。
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
第二问需要再想想
n=1    1
n=2    2
n=3    4
n=4   8(也许有更小的)

wayne 发表于 2012-5-29 11:56:04

2# geslon
我第四个就乱了。
能否给出图形？

hujunhua 发表于 2012-5-29 13:05:21

4# wayne
不正确。
别忽视了斜置正方形。


另外，wayne的 n 是边长，我说的 n 原是边上的点数。 后面就依wayne的吧。不知道2#的 5 是点数还是边长。
n=1, 1, 1
n=2, 6, 3
n=3, 20, ?
n=4,50, ?

wayne 发表于 2012-5-29 13:19:53

6# hujunhua
额， 还考虑斜置，凭手算的话，几乎不可能的了

hujunhua 发表于 2012-5-29 13:31:10

第1问是{n(n+1)^2(n+2)}/12

hujunhua 发表于 2012-5-29 13:39:17

搜到了
A002415

wayne 发表于 2012-5-29 14:13:14

{1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540}
http://oeis.org/A002415
一个很笨的但是有效的程序：
Table[Length@
Select[Select[
    Select[Sort /@
      Subsets,
      1], {4}], #[] + #[] == #[] + #[] &],
    Norm[{#[] - #[]}] == Norm[{#[] - #[]}] &],
   Dot[#[] - #[], #[] - #[]] == 0 &], {n, 6}]

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