论坛 › 难题征解 › 如何求一个一元八次方程的符号解

wayne 发表于 2013-1-20 14:08:00

我怎么就没想到呢？
用Mathematica因式分解，加一个选项Extension -> SqrtFactor]

mathe 发表于 2013-1-20 14:13:10

我是借助计算机来分析可解群。为此，我们可以因子分解f(x)(mod p),其中p是素数。我发现对不同的素数，结果几乎都是4个二次式的乘积（例外是对p=3可以分解的更加彻底），这个基本说明了可解群是$Z_2^4$

wayne 发表于 2013-1-20 14:14:24

22# mathe
这正是我期待的说法。
只可惜我没这功底

mathe 发表于 2013-1-20 14:14:56

其实在二次域内分解即可：关键是注意到首项系数为256＝2^8,因此可以猜想在sqrt(2)内分解
在MAPLE 16中运行factor(f, sqrt(2))即可
数学星空 发表于 2013-1-20 14:06 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
还是运气不错，换成sqrt(5)之类的就歇菜了。不过看来可以测试多个不同的sqrt(n)

wayne 发表于 2013-1-20 14:17:39

24# mathe
;P
我正在用Mathematica尝试因式分解怎么扩展任意形式的sqrt(n)呢

数学星空 发表于 2013-1-20 14:23:41

其实我刚始用的是sqrt(17),因为我觉得楼主的这个问题可能是人为设计，我再求解了一下原方程的根
{{x -> -8.22532948514}, {x -> -0.299174940893}, {x ->-0.209318709503}, {x -> -0.184737767450}, {x -> 0.121337055377}, {x -> 0.338982728910}, {x -> 0.513089770780}, {x -> 1.94515134792}}
好像发现不了某种对称性，因此我又看了原方程的系数或许与sqrt(2)有关联……

wayne 发表于 2013-1-20 14:29:23

如此说来，我可以构造很多这样的有根式解的8元方程：
a*f(x)^2 - b*g(x)^2
其中a,b 是正整数，f(x), g(x)是一元4次式子。
可惜楼主是通过a=1,b=2构造出来的，让楼上的这么容易 就捡了个漏

数学星空 发表于 2013-1-20 14:36:42

或许可以尝试多举几例，让我们发现其规律：
例：2*x^8+x^7+5*x^6+7*x^5+4*x^4+7*x^3+5*x^2+x+2=0

mathe 发表于 2013-1-20 14:43:38

或许可以尝试多举几例，让我们发现其规律：
例：2*x^8+x^7+5*x^6+7*x^5+4*x^4+7*x^3+5*x^2+x+2＝0
数学星空 发表于 2013-1-20 14:36 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
这个应该是需要开8次方的

wayne 发表于 2013-1-20 14:52:07

28# 数学星空
sqrt(17)，即可分解成2个四次式

-\frac{1}{8} (-4 x^4+(\sqrt{17}-1) x^3+(-7-\sqrt{17}) x^2+(\sqrt{17}-1) x-4) (4 x^4+(1+\sqrt{17}) x^3+(7-\sqrt{17}) x^2+(1+\sqrt{17}) x+4)

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