如何求一个一元八次方程的符号解

wayne

我怎么就没想到呢？ 用Mathematica因式分解，加一个选项Extension -> Sqrt[2]

1. Factor[1 - 18 x^2 - 12 x^3 + 65 x^4 + 24 x^5 - 72 x^6 + 12 x^7 + x^8, Extension -> Sqrt[2]]

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mathe

我是借助计算机来分析可解群。为此，我们可以因子分解f(x)(mod p),其中p是素数。我发现对不同的素数，结果几乎都是4个二次式的乘积（例外是对p=3可以分解的更加彻底），这个基本说明了可解群是$Z_2^4$

wayne

22# mathe 这正是我期待的说法。 只可惜我没这功底

mathe

其实在二次域内分解即可：关键是注意到首项系数为256＝2^8,因此可以猜想在sqrt(2)内分解 在MAPLE 16中运行factor(f, sqrt(2))即可 数学星空 发表于 2013-1-20 14:06

还是运气不错，换成sqrt(5)之类的就歇菜了。不过看来可以测试多个不同的sqrt(n)

wayne

24# mathe 我正在用Mathematica尝试因式分解怎么扩展任意形式的sqrt(n)呢

数学星空

其实我刚始用的是$sqrt(17),$因为我觉得楼主的这个问题可能是人为设计，我再求解了一下原方程的根 ${{x -> -8.22532948514}, {x -> -0.299174940893}, {x ->-0.209318709503}, {x -> -0.184737767450}, {x -> 0.121337055377}, {x -> 0.338982728910}, {x -> 0.513089770780}, {x -> 1.94515134792}}$ 好像发现不了某种对称性，因此我又看了原方程的系数或许与$sqrt(2)$有关联……

wayne

如此说来，我可以构造很多这样的有根式解的8元方程： a*f(x)^2 - b*g(x)^2 其中a,b 是正整数，f(x), g(x)是一元4次式子。 可惜楼主是通过a=1,b=2构造出来的，让楼上的这么容易 就捡了个漏

数学星空

或许可以尝试多举几例，让我们发现其规律： 例：$2*x^8+x^7+5*x^6+7*x^5+4*x^4+7*x^3+5*x^2+x+2=0$

mathe

或许可以尝试多举几例，让我们发现其规律： 例：2*x^8+x^7+5*x^6+7*x^5+4*x^4+7*x^3+5*x^2+x+2＝0 数学星空 发表于 2013-1-20 14:36

这个应该是需要开8次方的

wayne

28# 数学星空 sqrt(17)，即可分解成2个四次式 $-\frac{1}{8} (-4 x^4+(\sqrt{17}-1) x^3+(-7-\sqrt{17}) x^2+(\sqrt{17}-1) x-4) (4 x^4+(1+\sqrt{17}) x^3+(7-\sqrt{17}) x^2+(1+\sqrt{17}) x+4)$