如何求一个一元八次方程的符号解

wayne

10# 数学星空
试过了
a=2，首项系数才为1，b取各种整数：

1. Table[{ii, MinimalPolynomial[2 Cos[2 Pi/17] + ii, x]}, {ii, -5, 5}] // Column

复制代码

{-5,350981+592521 x+432390 x^2+178185 x^3+45365 x^4+7309 x^5+728 x^6+41 x^7+x^8}
{-4,51409+113292 x+107022 x^2+56634 x^3+18375 x^4+3746 x^5+469 x^6+33 x^7+x^8}
{-3,3571+11789 x+16280 x^2+12313 x^3+5595 x^4+1569 x^5+266 x^6+25 x^7+x^8}
{-2,17+204 x+714 x^2+1122 x^3+935 x^4+442 x^5+119 x^6+17 x^7+x^8}
{-1,1+9 x-6 x^2-39 x^3-15 x^4+29 x^5+28 x^6+9 x^7+x^8}
{0,1-4 x-10 x^2+10 x^3+15 x^4-6 x^5-7 x^6+x^7+x^8}
{1,-1-3 x+12 x^2+9 x^3-25 x^4+x^5+14 x^6-7 x^7+x^8}
{2,1-36 x+210 x^2-462 x^3+495 x^4-286 x^5+91 x^6-15 x^7+x^8}
{3,1597-5911 x+9134 x^2-7703 x^3+3885 x^4-1203 x^5+224 x^6-23 x^7+x^8}
{4,29681-70356 x+71454 x^2-40614 x^3+14135 x^4-3086 x^5+413 x^6-31 x^7+x^8}
{5,229771-409779 x+315840 x^2-137415 x^3+36915 x^4-6271 x^5+658 x^6-39 x^7+x^8}

数学星空

其实我觉得更合理的是$a*cos(n*pi/17)+b$,注意：$a,b,n$是待定的参数……
$a,b$或许为有理数，$n$只能取$1$~$16$

wayne

12# 数学星空
跟n是没有关系的

mathe

2# hujunhua
受此启发，我们可以试试找出这样的一元二次方程 g(x), 以及一元四次方程 f(x)
使得 f(g(x)) =  x^8+12x^7-72x^6+24x^5+65x^4-12x^3-18x^2+1
或者 g(f(x)) =  x^8+12x^7-72x^6+24x^5+65x^4-12x^3-18 ...
wayne 发表于 2013-1-20 10:55

我觉得应该是形如
f(g(x)),其中f是四次方程,g是两个二次式的比例

mathe

其实我觉得更合理的是a*cos(n*pi/17)+b,注意：a,b,n是待定的参数……
a,b或许为有理数，n只能取1~16
数学星空 发表于 2013-1-20 13:00

同这个没有关系，其可解群好像是$Z_2^4$

数学星空

呵呵，mathe 说到了本质：
$y^8+12*y^7-72*y^6+24*y^5+65*y^4-12*y^3-18*y^2+1=-(-y^4-6*y^3+7*y^3*sqrt(2)+5*y^2-3*y^2*sqrt(2)-2*y*sqrt(2)-1)*(y^4+6*y^3+7*y^3*sqrt(2)-5*y^2-3*y^2*sqrt(2)-2*y*sqrt(2)+1)$
容易得到：
$y_1=-3/2-(7/4)*sqrt(2)+(1/2)*sqrt(21)+(1/4)*sqrt(42)+(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)+37*sqrt(42)+138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)-1134-819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)+sqrt(42)))$
$y_2=-3/2-(7/4)*sqrt(2)-(1/2)*sqrt(21)-(1/4)*sqrt(42)+(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)+37*sqrt(42)+138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)+1134+819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)+sqrt(42)))$
$y_3=-3/2-(7/4)*sqrt(2)+(1/2)*sqrt(21)+(1/4)*sqrt(42)-(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)+37*sqrt(42)+138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)-1134-819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)+sqrt(42)))$
$y_4=-3/2-(7/4)*sqrt(2)-(1/2)*sqrt(21)-(1/4)*sqrt(42)-(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)+37*sqrt(42)+138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)+1134+819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)+sqrt(42)))$
$y_5=-3/2+(7/4)*sqrt(2)-(1/2)*sqrt(21)+(1/4)*sqrt(42)+(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)-37*sqrt(42)-138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)+1134-819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)-sqrt(42)))$
$y_6=-3/2+(7/4)*sqrt(2)+(1/2)*sqrt(21)-(1/4)*sqrt(42)+(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)-37*sqrt(42)-138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)-1134+819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)-sqrt(42)))$
$y_7=-3/2+(7/4)*sqrt(2)-(1/2)*sqrt(21)+(1/4)*sqrt(42)-(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)-37*sqrt(42)-138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)+1134-819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)-sqrt(42)))$
$y_8=-3/2+(7/4)*sqrt(2)+(1/2)*sqrt(21)-(1/4)*sqrt(42)-(1/2)*sqrt((116*sqrt(21)-37*sqrt(42)-138*sqrt(2)*sqrt(21)+69*sqrt(2)*sqrt(42)-1134+819*sqrt(2))/(2*sqrt(21)-sqrt(42)))$
且$x_k=y_k/2 (k=1...8)$

mathe

怎么凑出来的。这个好像很难找到系统的方法。难道你是找f(x)^2-u*g(x)^2这种形式？

wayne

我觉得应该是形如
f(g(x)),其中f是四次方程,g是两个二次式的比例
mathe 发表于 2013-1-20 13:36

mathe就是专业！

wayne

16# 数学星空
漂亮，把式子分解成系数为无理数的形式，就OK了！

数学星空

其实在二次域内分解即可：关键是注意到首项系数为256＝2^8,因此可以猜想在sqrt(2)内分解
在MAPLE 16中运行factor(f, sqrt(2))即可