如何求一个一元八次方程的符号解

数学星空

肯定有根式解，这个结构由三角函数（可根式表示）与根式的和生成的

mathe

玩玩这个吧：
3 + 9 x + 21 x^2 - 21 x^3 - 63 x^4 + 18 x^5 + 79 x^6 - 12 x^7 -  57 x^8 + 17 x^9 + 18 x^10 - 12 x^11 + x^12 =0
wayne 发表于 2013-1-20 15:13

我试着将12个根划分成两组，然后分别累加，看它们是否能够写成(a+b*sqrt(c))/d形式，固定d=120,但是结果没有找到合适的划分。看来这个分解结果要复杂一些？

数学星空

$6484591447895521-3109710821335221600*y+367081320495641587776*y^2-16753488126971906739456*y^3+385092117683114579108352*y^4-5103856857770702945685504*y^5+$
$42049992724818030982324224*y^6-225294153564237402600603648*y^7+806880282203535092765097984*y^8-1963620676373502637045186560*y^9+3275395806763778081820770304*y^10-$$3751220300859755209194209280*y^11+2928086932006564898870919168*y^12-1524285912484356749116047360*y^13+504730181549077650531680256*y^14-$
$95946081158798277328502784*y^15+7958661109946400884391936*y^16$

是由$sqrt(sin(3*pi/17)+sqrt(2)/3)$生成的最小多项式
其中：
$sin(3*pi/17)=sqrt(17/32+(1/32)*sqrt(17)-(1/32)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(17-4*sqrt(17)))-(1/16)*sqrt((17*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(17-4*sqrt(17)))-sqrt(17)*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(17-4*sqrt(17)))+2*sqrt(17-4*sqrt(17))*sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(17-4*sqrt(17)))+14*sqrt(17)-34)/sqrt(34-6*sqrt(17)-8*sqrt(17-4*sqrt(17)))))$

mathe

6484591447895521-3109710821335221600*y+367081320495641587776*y^2-16753488126971906739456*y^3+385092117683114579108352*y^4-5103856857770702945685504*y^5+
42049992724818030982324224*y^6-225294153564237 ...
数学星空 发表于 2013-1-20 16:31

系数太可怕了，让人望而生畏

mathe

这个是否有压力了：
9*x^8 + 2*x^7 + 99*x^6 + 21*x^5 + 383*x^4 + 69*x^3 + 632*x^2 + 77*x + 379
mathe 发表于 2013-1-20 15:15

y=(x^2+x+3)/(x^2-x+2)
存在
y^4 + 3*y^3 + 2*y^2 + 2*y + 1=0
也就是给定关于y的四次方程的任意一解r,在求解二次方程
(r-1)x^2-(r+1)x+(2r-3)=0

wayne

45# mathe
刚才困死了，睡了一觉。
我那个是这样的：
$2 (x^2 - x - 1)^6 - (x^4 + x - 1)^3=3 +9x+21x^2 -21 x^3 -63 x^4 +18x^5+79 x^6 -12 x^7 -57 x^8 +17 x^9+18 x^10 -12 x^11 + x^12$
所以在2的3次根方域  下面可以分解上式

1. Factor[3+9x+21x^2-21x^3-63x^4+18x^5+79x^6-12x^7-57x^8+17x^9+18 x^10-12x^11+x^12, Extension -> AlgebraicNumber[Root[#^3 - 2 &, 1], {0, 1}]]

复制代码

所以，(a+b*sqrt(c))/d的形式肯定找不到，嘿嘿。

wayne

看来，要解更复杂结构的方程，我们需要摆脱经验，有一个系统性的方法。

wayne

43# 数学星空
你这个应该是 $(\frac{\sqrt{2}}{3}+\sin (\frac{2 \pi }{17}))^2$

数学星空

其实它的16个根为：
$(sin(k*pi/17)+-sqrt(2)/3)^2, k=1..8$

mathe

我们可以先解决这样一个问题：
给定若干个小数的高精度表示r1,r2,...,rt，请找出相应整数z0,z1,z2,...,zt使得
z0+z1*r1+...+zt*rt ~=0
这个应该有现成算法。
由此，我们可以得出问题2的解:
给定一个小数的高精度表示r,试找出次数尽量低的正系数多项式h(x)使得h(r)~=0
,这个只要算出r,r^2,...,r^t,然后代入问题1即可。
然后，对于本题中一般情况，
我们可以对方程先求出数值解（精度充分高），然后在n个解中任意选择k个，计算它们乘积r.
然后计算r的次数最低的多项式，如果这个多项式次数小于n,那么就非常可能找到一种因子分解方案