如何求一个一元八次方程的符号解

wayne

60# mathe

漂亮！！
根据这个提示我构造了一个

1. MinimalPolynomial[AlgebraicNumber[Root[#^8 - 2 &, 1], {0, 1, 1, 1, 1, 1}], x]

复制代码

$x^8-24 x^6-96 x^5-132 x^4-208 x^3-248x^2-112 x-62=0$

wayne

这个恐怕是最简洁的非平凡的有根式解的8次方程了。
$2 - 16 x - 40 x^2 - 32 x^3 - 4 x^4 + x^8=0$
分解因式就是
$(x - a - a^2) (x + a - a^2) (x^2 + a^5x + a^2 + a^4 - a^7) (x^2 - a^5x + a^2 + a^4 + a^7) (x^2 + 2 a^2x+ a^2 + a^4) $
a表示2的开8次方，1.090507733

mathe

谁来试验一下这个东东:
http://www.gap-system.org/Releases/index.html

hujunhua

4# wayne
Mathematica9装在办公室的电脑上，周末在家，没得用，只好用本本上的Maxima。我倒是想到过20#的分解方法，可惜在Maxima用得不如Mathematica9熟练，不知道能不能实现。

将1#那个方程略作处理，可以得到很漂亮的解。
由于$x^8$的系数不是1，所以方程的根不是代数整数，但是常数项为1，所以1/x是代数整数，故我们作代换y=1/x,将方程化为

1. 256 + 1536 y - 4608 y^2 + 768 y^3 + 1040 y^4 - 96 y^5 - 72 y^6 + y^8==0

复制代码

然后来分解因式：

1. In[7]:= Factor[ 256 + 1536 y - 4608 y^2 + 768 y^3 + 1040 y^4 - 96 y^5 - 72 y^6 + y^8, Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[3], Sqrt[7]}]

复制代码

chyanog

64# hujunhua
，Mathematica自动化简的没这么简洁

chyanog

我突然想起，在Mathematica中，根式分母有理化有了一个很好的方法！（Maple有自带的函数rationalize）

chyanog

1. 
   
2. rad = -(1/(Sqrt[2] - Sqrt[3] + Sqrt[5] + Sqrt[6]));
   
3. 
   
4. Select[x /. Solve[Factor[MinimalPolynomial[rad, x],
   
5.              Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[3], Sqrt[5]}] == 0, x],
   
6.   Chop[#1 - rad] == 0 & ]//First
   

复制代码

这是一种根式分母有理化的方法，效率不算高，应该能优化的

chyanog

mathematica分解这个很慢呀

1. 
   
2. Factor[1 - 216 x^2 - 192 x^3 + 16140 x^4 + 18816 x^5 - 547528 x^6 - 687168 x^7 + 8960886 x^8 + 12394752 x^9 - 67518888 x^10 - 108989760 x^11 + 178031596 x^12 + 374357376 x^13 + 61149384 x^14 - 96214464 x^15 + 3999249 x^16, Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[3], Sqrt[5], Sqrt[6], Sqrt[11]}]
   
3. 
   

复制代码

Maple的比较快

1. 
   
2. factor(1-216*x^2-192*x^3+16140*x^4+18816*x^5-547528*x^6-687168*x^7+8960886*x^8+12394752*x^9-67518888*x^10-108989760*x^11+178031596*x^12+374357376*x^13+61149384*x^14-96214464*x^15+3999249*x^16, [sqrt(2), sqrt(3), sqrt(5), sqrt(6), sqrt(11)])
   

复制代码

hujunhua

其中Sqrt[6]不需要。
如果比较慢的话，可以先Extension -> {Sqrt[2], Sqrt[3]｝，再将分解出来的每个因式分解，Extension -> {Sqrt[5],  Sqrt[11]}

mathe

Gap的radiroot扩展
http://www.gap-system.org/Manuals/pkg/radiroot/htm/CHAP002.htm