如何求一个一元八次方程的符号解

hf2824259

((-1 - 4 Sqrt[2] x + (20 - 12 Sqrt[2]) x^2 + (-48 + 56 Sqrt[2]) x^3 -
    16 x^4) (1 -
    4 Sqrt[2] x + (-20 - 12 Sqrt[2]) x^2 + (48 + 56 Sqrt[2]) x^3 +
    16 x^4))

nyy

把这个群的凯莱图画一下

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义三个轮换*)
   
3. cy1=Cycles[{{1,2},{3,8},{4,5},{6,7}}]
   
4. cy2=Cycles[{{1,3},{2,8},{4,7},{5,6}}]
   
5. cy3=Cycles[{{1,4},{2,5},{3,7},{6,8}}]
   
6. (*形成置换群*)
   
7. gg=PermutationGroup[{cy1,cy2,cy3}]
   
8. CayleyGraph[gg](*凯莱图*)
   

复制代码

nyy

nyy 发表于 2024-2-19 18:02
把这个群的凯莱图画一下

这是一个立方体！4条人为一组，总共分三组。
我现在看明白了。8个点位于立方体的8个顶点上。

nyy

nyy 发表于 2024-2-19 18:02
把这个群的凯莱图画一下

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*定义三个轮换*)
   
3. cy1=Cycles[{{1,2},{3,8},{4,5},{6,7}}]
   
4. cy2=Cycles[{{1,3},{2,8},{4,7},{5,6}}]
   
5. cy3=Cycles[{{1,4},{2,5},{3,7},{6,8}}]
   
6. (*形成置换群*)
   
7. gg=PermutationGroup[{cy1,cy2,cy3}]
   
8. CayleyGraph[gg,VertexLabels->Placed["Name",Center],VertexLabelStyle->Directive[50],VertexSize->0.4](*凯莱图*)
   

复制代码

加上顶点的凯莱图。凯莱图是个正方体，有8个顶点，
然后有三组对面（每个面上有四个顶点，每组对面互相换对应的顶点），
三组对面表示三个生成元！

绿色棱表示正方体的四个平行的棱，蓝色也是，红色也是！

mathe

这看上去是$Z_2^3$, 你说的是哪个？找不到原始内容

nyy

mathe 发表于 2024-2-22 09:51
这看上去是$Z_2^3$, 你说的是哪个？找不到原始内容

在同构意义上，这个8阶群，同构哪一个群？

8阶有限群的分类
https://jingyan.baidu.com/article/e2284b2ba2ef2ce2e6118dfc.html

处理小阶群的技巧, 15阶以下群的分类 - 格罗卜学数学的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/260343968

你的那个Z2，似乎应该写成C2

nyy

nyy 发表于 2024-2-22 14:07
在同构意义上，这个8阶群，同构哪一个群？

8阶有限群的分类

Cn与Zn同构

nyy

1. FiniteGroupData["Quaternion", "PermutationGroupRepresentation"] //
   
2. CayleyGraph[#, VertexLabels -> Placed["Name", Center],
   
3.    VertexLabelStyle -> Directive[50], VertexSize -> 0.4] &

复制代码

四元数群的凯莱图

1. AbelianGroup[{2, 2, 2}] //
   
2. CayleyGraph[#, VertexLabels -> Placed["Name", Center],
   
3.    VertexLabelStyle -> Directive[50], VertexSize -> 0.4] &

复制代码

nyy

回复97楼：

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*假设表达式如下*)
   
3. root = (a + b*Sqrt[2] + c*Sqrt[3] + d*Sqrt[6])
   
4. f = 7*(10 + 6*Sqrt[2] + 5*Sqrt[3] + 4*Sqrt[6]) - root^2 // Expand
   
5. (*求解出系数*)
   
6. aaa = Flatten@CoefficientList[f, {Sqrt[2], Sqrt[3], Sqrt[6]}]
   
7. (*与上面的对比一下*)
   
8. aaa2 = Collect[f, {sqrt[2], Sqrt[3], Sqrt[6]}]
   
9. (*让系数等于零,求解方程组,得到abcd的值*)
   
10. ans = Solve[aaa == 0, {a, b, c, d}] // FullSimplify
    
11. bbb = Select[ans, (root /. #) > 0 &](*选出根大于零的*)
    
12. bbb2 = Grid[bbb, Alignment -> Right](*列表显示*)
    
13. N[f /. bbb, 100](*根据数值解,看是否等于零*)
    
14. out = root /. bbb[[1]](*代入第一组解,得到平方根*)

复制代码