现给出670# 15棵12行整数解的结果
第一个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->,
-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1],
-->,
-->
变换矩阵
[, , [-4/9, 5/18, 5/9]]
变换后坐标
, , [-2/11, -sqrt(3)/33, C], [-1/4, -sqrt(3)/6, D], , , [-1/13, -(2*sqrt(3))/39, G], , , [-2/29, -sqrt(3)/87, J], [-1/10, -sqrt(3)/6, K], , , [-1/2, -sqrt(3)/6, N], [-2/17, (5*sqrt(3))/51, O]
画图得到
第二个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
[-1, 0, 1, K]--> ,
--> [-1/2, -1/6*sqrt(3), 1],
--> ,
-->
变换矩阵
[, [-1/72*sqrt(3), -1/72*sqrt(3), 1/24*sqrt(3)], [-5/12, 7/12, -1/4]]
变换后坐标
[-1/6, -sqrt(3)/6, A], [-1/10, sqrt(3)/30, B], , , , [-1/8, -sqrt(3)/24, F], , , , , , [-1/30, -sqrt(3)/30, L], [-1/2, -sqrt(3)/6, M], [-1/3, 0, N],
画图得到
第三个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->[-1/4, sqrt(3)/6, 1],
[-1, 5/3, 1, O]-->[-1/2, 0, 1],
-->,
-->
变换矩阵
[, [-1/4*sqrt(3), 1/4*sqrt(3), -2/3*sqrt(3)], [-2, 3/2, -4]]
变换后坐标
[-1/20, sqrt(3)/6, A], [-1/16, sqrt(3)/8, B], [-1/4, sqrt(3)/6, C], , , [-5/48, (11*sqrt(3))/72, F], [-1/8, sqrt(3)/6, G], [-1/7, sqrt(3)/7, H], , , [-3/16, (5*sqrt(3))/24, K], , [-1/18, (4*sqrt(3))/27, M], [-1/6, sqrt(3)/9, N], [-1/2, 0, O]
画图得到
第四个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->,
-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1],
-->,
-->
变换矩阵
[[-1/3, -1/6, 1/6], , ]
变换后坐标
, [-1/3, 0, B], , [-1/4, sqrt(3)/12, D], [-1/2, -sqrt(3)/6, E], , , , , [-1/8, -sqrt(3)/24, J], , [-1/10, sqrt(3)/30, L], [-1/6, 0, M], [-1/12, -sqrt(3)/12, N], [-1/18, sqrt(3)/18, O]
画图得到
现给出670# 15棵12行整数解的结果（续）
第五个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
--> ,
--> [-1/2, -sqrt(3)/6, 1],
-->,
-->
变换矩阵
[[-1/12, 0, 0], , ]
变换后坐标
, [-1/3, 0, B], , , [-1/2, -sqrt(3)/6, E], , [-1/4, sqrt(3)/12, G], , , [-1/14, -sqrt(3)/42, J], , , , [-1/13, -(2*sqrt(3))/39, N],
画图得到
第六个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->,
-->[-1/2, -1/6*sqrt(3), 1],
-->,
-->
变换矩阵
[, , [-1/3, -5/3, 2/3]]
变换后坐标
, [-1/2, -sqrt(3)/6, B], , , , [-1/10, sqrt(3)/30, F], , , , [-1/4, sqrt(3)/12, J], [-1/6, -sqrt(3)/6, K], [-1/3, 0, L], , , [-1/12, sqrt(3)/12, O]
画图得到
第七个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->,
-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1],
[-1, 1, 1, H]-->,
-->
变换矩阵
[, [-1/27*sqrt(3), -1/54*sqrt(3), 1/108*sqrt(3)], [-1/9, 4/9, -13/18]]
变换后坐标
, [-3/10, sqrt(3)/30, B], , , , , , , , [-1/2, -sqrt(3)/6, J], , [-3/14, (5*sqrt(3))/42, L], , [-1/8, -sqrt(3)/24, N],
画图得到
第八个初始数据
[, , , , , , , , , , , , , , ]
[, , , , , , , , , , , ]
变换基点
-->,
-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1],
-->,
-->
变换矩阵
[, , [-2/3, 0, -2/3]]
变换后坐标
, [-3/10, sqrt(3)/30, B], , , , , , , , [-1/2, -sqrt(3)/6, J], , [-3/14, (5*sqrt(3))/42, L], , [-1/8, -sqrt(3)/24, N],
画图得到
mathe 发表于 2020-1-7 09:38
3阶变换比较麻烦。
如果我们找到一个3阶变换，其中包含两个以上不动点，那么必然不是3阶旋转变换。
而如 ...
685#里面没有找到一种3阶的15棵12行的对称解，
A[+1 ,0 , +1]
B[+1 ,0 , 0]
C
D
E[+1 ,-1 , 0]
F
G[+1 ,+1 , 0]
H
I[+1 ,-1 , +1]
J[-1 ,0 , +1]
K[+2 ,-1 , +1]
L[+2 ,+1 , +1]
M[+1 ,+2 , +1]
N[-1 ,+1 , +1]
O[+2 ,-3 , +1]
BEFGCDFHABHJACEKBDIKADGLAFIMCGJMEHINBCLNDEJOFKLO
现在采用分析射影变换矩阵的方法， 可以得出变换阵
[-0.054580000345554384997415838665679984969 0.20998684164914552746120176787970472509 0.12334649168418780587213156545362860824]
可将685#里的图转化为非常漂亮的对称图:
这个图看起来除了旋转对称以外，似乎还很像同时是轴对称的。但是查看其自同构群可以发现这个群只有3阶，不可能同时轴对称。
通过测量图中BK和ID的长度可以得出BK=5.78369...,而ID=5.05166.... 所以两者还是不同的，只是相差不是很大。
上面射影变换选择四个点需要注意不要出现3点共线，比如670#第一组
A
B[+1 ,-1 , +1]
C[+2 ,-1 , +1]
D[+1 ,0 , 0]
E[+2 ,-3 , +1]
F[+1 ,0 , +1]
G[+1 ,-1 , 0]
H[+1 ,-2 , 0]
I
J[+3 ,-3 , +1]
K
L
M[+1 ,-3 , +1]
N[+2 ,0 , +1]
O[+4/3 ,-1 , +1]
ADGHCFGIBEHIBGJKCHJLAIKLABFMDEJMACENDFKNBCDOEFLO
如果我们还是选择将A,B,C,D四个点映射到B,C,A,E四个点，由于B,C,D三点共线，会无法确定变换阵。
改为选择将A,B,D,E四点映射为B,C,E,F四个点就可以确定变换阵
[-0.15540684130359114246378592921402474013 0.054580000345554384997415838665679984968 0.27875333298777894833591749466765334837]
得到图片
670#第二组
A
B[+1 ,0 , 0]
C[+1 ,+1 , 0]
D
E
F[+1 ,0 , +1]
G[+1 ,-1 , 0]
H[-1 ,-1 , +1]
I
J[-1 ,+1 , +1]
K[-1 ,0 , +1]
L[+1 ,-1 , +1]
M[+1/2 ,+1/2 , +1]
N[+2 ,+1 , +1]
O[+1 ,+2 , +1]
BCEGADEIABFKEHJKBHILAGJLDFGMACHMCFINBDJNCDKOEFLO
变换矩阵:
[-0.16666666666666666666666666666666666667 -0.16666666666666666666666666666666666667 0.33333333333333333333333333333333333333]
对称图有三个无穷远点
请问能将10到12点的方案也绘制下吗？
我花了相当多的时间来绘制类似这种图形，试图找出其中的一般性规律，但是并没有成功；不过倒是发现了其他一些比较有趣的结论，比如，10点的方案可以有6种不同的绘制方法，这六种方法在一个多世纪前就发现了。根据Boroczky arrangement可以绘制(k*k_3,3*k_k)构型。等等。
记录一下，Wayne已经把16棵树以下所有实数范围最优解计算出来了：
https://blog.emath.ac.cn/shared/
所有存在的解 都计算了一遍，做了分类和个数统计，整数解，实数解，复数解, 无穷解(不定方程)。带有后缀.out.txt的是 具体的坐标值(射影空间)。
由于是纯文本展示，数据比较多，所以查看内容的方便法门就是 搜索关键词 与 鼠标双击 选中整行。
由于涉及到公式的展示，折腾了很久，感觉还是文本格式最好，而文本格式又没法统一起来，所以干脆就采用Mathematica的输入格式，如果是Mathematica用户，直接复制粘帖就能拿来用。
https://blog.emath.ac.cn/shared/
Mathematica处理代码也放上去了：https://blog.emath.ac.cn/shared/20.nb
我昨天在Ubuntu上将102楼15棵树的情形跑了下，耗时1.5小时，生成的临时文件和最终文件有1.5GB,运行时消耗的内存很少。由于装的双系统，Ubuntu下的硬盘空间很小，不清楚在16颗树到20颗树下会需要多大的剩余磁盘空间。
那个代码版本比较旧了，后面有多次更新。
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=703&page=36#pid23066
里面是一个过滤算法的更新。
https://bbs.emath.ac.cn/thread-2007-1-1.html 里面也有相关信息，不过代码都不能下载了。
但是网站里面应该还有一些更新一点的代码
硬盘空间当然大一些好，但是如果硬盘不是太大，问题也不大，我们还有过滤算法，可以将一些非法解提前过滤，时间换空间
另外看260#当时估计，更新以后算法计算到20棵树大概是10G硬盘空间。当时10年前设计的代码，对内存和硬盘的要求都不会太高