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# [求助] 果树问题讨论:这两个问题等价么？

 现给出670# 15棵12行整数解的结果 第一个初始数据 [[A, 0, 1, 0], [B, 1, -1, 1], [C, 2, -1, 1], [D, 1, 0, 0], [E, 2, -3, 1], [F, 1, 0, 1], [G, 1, -1, 0], [H, 1, -2, 0], [I, 0, 1, 1], [J, 3, -3, 1], [K, 0, 0, 1], [L, 0, 3, 1], [M, 1, -3, 1], [N, 2, 0, 1], [O, 4/3, -1, 1]] [[A, D, G, H], [C, F, G, I], [B, E, H, I], [B, G, J, K], [C, H, J, L], [A, I, K, L], [A, B, F, M], [D, E, J, M], [A, C, E, N], [D, F, K, N], [B, C, D, O], [E, F, L, O]] 变换基点 [1, -1, 1, B]-->[0, sqrt(3)/3, 1], [2, 0, 1, N]-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1], [1, 0, 1, F]-->[1/2, -sqrt(3)/6, 1], [1, -2, 0, H]-->[0, 0, 1] 变换矩阵 [[1/9, 1/18, -1/18], [2/27*sqrt(3), 1/27*sqrt(3), -5/54*sqrt(3)], [-4/9, 5/18, 5/9]] 变换后坐标 [1/5, (2*sqrt(3))/15, A], [0, sqrt(3)/3, B], [-2/11, -sqrt(3)/33, C], [-1/4, -sqrt(3)/6, D], [0, sqrt(3)/21, E], [1/2, -sqrt(3)/6, F], [-1/13, -(2*sqrt(3))/39, G], [0, 0, H], [0, -sqrt(3)/15, I], [-2/29, -sqrt(3)/87, J], [-1/10, -sqrt(3)/6, K], [2/25, sqrt(3)/75, L], [2/13, (7*sqrt(3))/39, M], [-1/2, -sqrt(3)/6, N], [-2/17, (5*sqrt(3))/51, O] 画图得到 第二个初始数据 [[A, 0, 0, 1], [B, 1, 0, 0], [C, 1, 1, 0], [D, 0, 1, 1], [E, 0, 1, 0], [F, 1, 0, 1], [G, 1, -1, 0], [H, -1, -1, 1], [I, 0, -1, 1], [J, -1, 1, 1], [K, -1, 0, 1], [L, 1, -1, 1], [M, 1/2, 1/2, 1], [N, 2, 1, 1], [O, 1, 2, 1]] [[B, C, E, G], [A, D, E, I], [A, B, F, K], [E, H, J, K], [B, H, I, L], [A, G, J, L], [D, F, G, M], [A, C, H, M], [C, F, I, N], [B, D, J, N], [C, D, K, O], [E, F, L, O]] 变换基点 [-1, 0, 1, K]--> [0, 1/3*sqrt(3), 1], [1/2, 1/2, 1, M]--> [-1/2, -1/6*sqrt(3), 1], [1, 1, 0, C]--> [1/2, -1/6*sqrt(3), 1], [1, -1, 0, G]-->[0, 0, 1] 变换矩阵 [[1/24, 1/24, 1/24], [-1/72*sqrt(3), -1/72*sqrt(3), 1/24*sqrt(3)], [-5/12, 7/12, -1/4]] 变换后坐标 [-1/6, -sqrt(3)/6, A], [-1/10, sqrt(3)/30, B], [1/2, -sqrt(3)/6, C], [1/4, sqrt(3)/12, D], [1/14, -sqrt(3)/42, E], [-1/8, -sqrt(3)/24, F], [0, 0, G], [1/10, -sqrt(3)/6, H], [0, -sqrt(3)/15, I], [1/18, sqrt(3)/18, J], [0, sqrt(3)/3, K], [-1/30, -sqrt(3)/30, L], [-1/2, -sqrt(3)/6, M], [-1/3, 0, N], [1/3, 0, O] 画图得到 第三个初始数据 [[A, 0, 1, 1], [B, 1, 0, 0], [C, 0, 1, 0], [D, -1, 1, 1], [E, 1, 1, 0], [F, 1, 0, 1], [G, 0, 0, 1], [H, 1, -1, 0], [I, 0, 2, 1], [J, 1, 2, 1], [K, -1, 0, 1], [L, -1/2, 3/2, 1], [M, 1, 1, 1], [N, -2, 2, 1], [O, -1, 5/3, 1]] [[B, C, E, H], [A, C, G, I], [B, F, G, K], [A, E, J, K], [A, F, H, L], [D, E, I, L], [A, B, D, M], [C, F, J, M], [D, G, H, N], [B, I, J, N], [C, D, K, O], [L, M, N, O]] 变换基点 [0, 1, 0, C]-->[-1/4, sqrt(3)/6, 1], [-1, 5/3, 1, O]-->[-1/2, 0, 1], [1, 1, 0, E]-->[1/2, 0, 1], [0, 2, 1, I]-->[1/4, sqrt(3)/6, 1] 变换矩阵 [[1/8, -3/8, 1/2], [-1/4*sqrt(3), 1/4*sqrt(3), -2/3*sqrt(3)], [-2, 3/2, -4]] 变换后坐标 [-1/20, sqrt(3)/6, A], [-1/16, sqrt(3)/8, B], [-1/4, sqrt(3)/6, C], [0, sqrt(3)/3, D], [1/2, 0, E], [-5/48, (11*sqrt(3))/72, F], [-1/8, sqrt(3)/6, G], [-1/7, sqrt(3)/7, H], [1/4, sqrt(3)/6, I], [1/24, (5*sqrt(3))/36, J], [-3/16, (5*sqrt(3))/24, K], [1/6, (2*sqrt(3))/9, L], [-1/18, (4*sqrt(3))/27, M], [-1/6, sqrt(3)/9, N], [-1/2, 0, O] 画图得到 第四个初始数据 [[A, 0, 1, 1], [B, 1, 0, 0], [C, 1/2, 1, 1], [D, 1, -1, 0], [E, 0, 1, 0], [F, 1, -2, 0], [G, 1, 0, 1], [H, 0, 2, 1], [I, 1/2, 0, 1], [J, 0, 0, 1], [K, -1/2, 2, 1], [L, -1, 2, 1], [M, -1, 1, 1], [N, 1/2, -1/2, 1], [O, -1, 5/2, 1]] [[B, D, E, F], [C, F, G, H], [A, E, H, J], [B, G, I, J], [A, F, I, K], [A, D, G, L], [B, H, K, L], [A, B, C, M], [C, E, I, N], [D, J, M, N], [C, D, K, O], [E, L, M, O]] 变换基点 [1, -2, 0, F]-->[0, sqrt(3)/3, 1], [0, 1, 0, E]-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1], [1, 0, 1, G]-->[1/2, -sqrt(3)/6, 1], [0, 1, 1, A]--> [0, 0, 1] 变换矩阵 [[-1/3, -1/6, 1/6], [0, -1/18*sqrt(3), 1/18*sqrt(3)], [1, 1/3, -4/3]] 变换后坐标 [0, 0, A], [-1/3, 0, B], [1/3, 0, C], [-1/4, sqrt(3)/12, D], [-1/2, -sqrt(3)/6, E], [0, sqrt(3)/3, F], [1/2, -sqrt(3)/6, G], [1/4, sqrt(3)/12, H], [0, -sqrt(3)/15, I], [-1/8, -sqrt(3)/24, J], [0, sqrt(3)/21, K], [-1/10, sqrt(3)/30, L], [-1/6, 0, M], [-1/12, -sqrt(3)/12, N], [-1/18, sqrt(3)/18, O] 画图得到

 现给出670# 15棵12行整数解的结果（续） 第五个初始数据 [[A, 1, 0, 1], [B, 1, 0, 0], [C, 0, 1, 1], [D, 0, -1, 1], [E, 1, -1, 0], [F, 0, 1, 0], [G, 1, 1, 0], [H, 0, 0, 1], [I, 1, -1, 1], [J, -1, 0, 1], [K, 2, -1, 1], [L, 2, 1, 1], [M, 1, 2, 1], [N, -1, 1, 1], [O, 2, -3, 1]] [[B, E, F, G], [C, D, F, H], [A, B, H, J], [A, C, E, K], [B, D, I, K], [A, D, G, L], [A, F, I, M], [C, G, J, M], [E, H, I, N], [B, C, L, N], [D, E, J, O], [F, K, L, O]] 变换基点 [0, 1, 0, F]--> [0, sqrt(3)/3, 1], [1, -1, 0, E]--> [-1/2, -sqrt(3)/6, 1], [2, 1, 1, L]-->[1/2, -sqrt(3)/6, 1], [0, -1, 1, D]-->[0, 0, 1] 变换矩阵 [[-1/12, 0, 0], [0, 1/36*sqrt(3), 1/36*sqrt(3)], [1/4, 1/12, -11/12]] 变换后坐标 [1/8, -sqrt(3)/24, A], [-1/3, 0, B], [0, -sqrt(3)/15, C], [0, 0, D], [-1/2, -sqrt(3)/6, E], [0, sqrt(3)/3, F], [-1/4, sqrt(3)/12, G], [0, -sqrt(3)/33, H], [1/9, 0, I], [-1/14, -sqrt(3)/42, J], [1/3, 0, K], [1/2, -sqrt(3)/6, L], [1/6, -sqrt(3)/6, M], [-1/13, -(2*sqrt(3))/39, N], [1/4, sqrt(3)/12, O] 画图得到 第六个初始数据 [[A, 0, 1, 1], [B, 1, 0, 0], [C, 0, 1/2, 1], [D, -1, 1, 1], [E, 1, -1, 0], [F, 0, 1, 0], [G, 1, 0, 1], [H, 1, -1/2, 0], [I, -1, 3/2, 1], [J, 0, 0, 1], [K, 1, 1/2, 1], [L, -1, 0, 1], [M, -1/2, 1, 1], [N, 1/2, 1/2, 1], [O, 1, -1, 1]] [[B, E, F, H], [C, D, G, H], [A, C, F, J], [A, H, I, K], [D, F, I, L], [B, G, J, L], [A, B, D, M], [C, E, I, M], [A, E, G, N], [B, C, K, N], [D, E, J, O], [F, G, K, O]] 变换基点 [1, 0, 1, G]-->[0, 1/3*sqrt(3), 1], [1, 0, 0, B]-->[-1/2, -1/6*sqrt(3), 1], [0, 1/2, 1, C]-->[1/2, -1/6*sqrt(3), 1], [0, 1, 1, A]--> [0, 0, 1] 变换矩阵 [[1/6, 1/6, -1/6], [1/18*sqrt(3), -1/18*sqrt(3), 1/18*sqrt(3)], [-1/3, -5/3, 2/3]] 变换后坐标 [0, 0, A], [-1/2, -sqrt(3)/6, B], [1/2, -sqrt(3)/6, C], [1/4, sqrt(3)/12, D], [0, sqrt(3)/12, E], [-1/10, sqrt(3)/30, F], [0, sqrt(3)/3, G], [1/6, sqrt(3)/6, H], [1/18, sqrt(3)/18, I], [-1/4, sqrt(3)/12, J], [-1/6, -sqrt(3)/6, K], [-1/3, 0, L], [1/10, sqrt(3)/30, M], [0, -sqrt(3)/6, N], [-1/12, sqrt(3)/12, O] 画图得到 第七个初始数据 [[A, 0, 0, 1], [B, -1, 2, 1], [C, 1, 0, 0], [D, 1, -2, 0], [E, 0, 1, 0], [F, 1, -1, 0], [G, 0, 1, 1], [H, -1, 1, 1], [I, 1, 0, 1], [J, 0, 2, 1], [K, -1, 0, 1], [L, -2, 2, 1], [M, -1/2, 1, 1], [N, -1/2, 3, 1], [O, -1/2, -1, 1]] [[C, D, E, F], [B, F, G, I], [A, E, G, J], [B, E, H, K], [A, C, I, K], [A, F, H, L], [B, C, J, L], [A, B, D, M], [C, G, H, M], [D, I, J, N], [D, K, L, O], [E, M, N, O]] 变换基点 [1, 0, 0, C]-->[0, sqrt(3)/3, 1], [0, 2, 1, J]-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1], [-1, 1, 1, H]-->[1/2, -sqrt(3)/6, 1], [1, -2, 0, D]-->[0, 0, 1] 变换矩阵 [[0, 0, -1/12], [-1/27*sqrt(3), -1/54*sqrt(3), 1/108*sqrt(3)], [-1/9, 4/9, -13/18]] 变换后坐标 [3/26, -sqrt(3)/78, A], [-3/10, sqrt(3)/30, B], [0, sqrt(3)/3, C], [0, 0, D], [0, -sqrt(3)/24, E], [0, sqrt(3)/30, F], [3/10, sqrt(3)/30, G], [1/2, -sqrt(3)/6, H], [1/10, sqrt(3)/30, I], [-1/2, -sqrt(3)/6, J], [3/22, -(5*sqrt(3))/66, K], [-3/14, (5*sqrt(3))/42, L], [3/8, -sqrt(3)/24, M], [-1/8, -sqrt(3)/24, N], [3/40, -sqrt(3)/24, O] 画图得到 第八个初始数据 [[A, 0, 0, 1], [B, 1, 0, 1], [C, 1, -1, 1], [D, 0, 1, 1], [E, 1, 0, 0], [F, 0, 1, 0], [G, 1, 1, 0], [H, 1, -1, 0], [I, 0, -1, 1], [J, 1, 1, 1], [K, 1/2, -1/2, 1], [L, 1/2, 0, 1], [M, 1/3, 1/3, 1], [N, 2, -1, 1], [O, 1/2, 1, 1]] [[E, F, G, H], [A, D, F, I], [B, C, F, J], [A, C, H, K], [B, G, I, K], [A, B, E, L], [A, G, J, M], [C, D, L, M], [B, D, H, N], [C, E, I, N], [D, E, J, O], [F, K, L, O]] 变换基点 [0, 0, 1, A]-->[0, sqrt(3)/3, 1], [1, -1, 1, C]-->[-1/2, -sqrt(3)/6, 1],   [1, 1, 1, J]-->[1/2, -sqrt(3)/6, 1], [1/2, 0, 1, L]-->[0, 0, 1] 变换矩阵 [[0, -2/3, 0], [4/9*sqrt(3), 0, -2/9*sqrt(3)], [-2/3, 0, -2/3]] 变换后坐标 [3/26, -sqrt(3)/78, A], [-3/10, sqrt(3)/30, B], [0, sqrt(3)/3, C], [0, 0, D], [0, -sqrt(3)/24, E], [0, sqrt(3)/30, F], [3/10, sqrt(3)/30, G], [1/2, -sqrt(3)/6, H], [1/10, sqrt(3)/30, I], [-1/2, -sqrt(3)/6, J], [3/22, -(5*sqrt(3))/66, K], [-3/14, (5*sqrt(3))/42, L], [3/8, -sqrt(3)/24, M], [-1/8, -sqrt(3)/24, N], [3/40, -sqrt(3)/24, O] 画图得到

 mathe 发表于 2020-1-7 09:38 3阶变换比较麻烦。 如果我们找到一个3阶变换，其中包含两个以上不动点，那么必然不是3阶旋转变换。 而如 ... 685#里面没有找到一种3阶的15棵12行的对称解，         A[+1 ,0 , +1]         B[+1 ,0 , 0]         C[0 ,+1 , +1]         D[0 ,-1 , +1]         E[+1 ,-1 , 0]         F[0 ,+1 , 0]         G[+1 ,+1 , 0]         H[0 ,0 , +1]         I[+1 ,-1 , +1]         J[-1 ,0 , +1]         K[+2 ,-1 , +1]         L[+2 ,+1 , +1]         M[+1 ,+2 , +1]         N[-1 ,+1 , +1]         O[+2 ,-3 , +1] BEFGCDFHABHJACEKBDIKADGLAFIMCGJMEHINBCLNDEJOFKLO 现在采用分析射影变换矩阵的方法， 可以得出变换阵 [0.41097554549505400499059196851263685981 0.18185393932862023392667876903163481355 -0.18185393932862023392667876903163481356] [0.027290000172777192498707919332839992484 -0.10499342082457276373060088393985236255 0.43832675415790609706393421727318569588] [-0.054580000345554384997415838665679984969 0.20998684164914552746120176787970472509 0.12334649168418780587213156545362860824] 可将685#里的图转化为非常漂亮的对称图: 这个图看起来除了旋转对称以外，似乎还很像同时是轴对称的。但是查看其自同构群可以发现这个群只有3阶，不可能同时轴对称。 通过测量图中BK和ID的长度可以得出BK=5.78369...,而ID=5.05166.... 所以两者还是不同的，只是相差不是很大。

### 点评

670#还有很多3阶对称的，估计还有其它漂亮的结果  发表于 2020-1-22 20:23

 上面射影变换选择四个点需要注意不要出现3点共线，比如670#第一组         A[0 ,+1 , 0]         B[+1 ,-1 , +1]         C[+2 ,-1 , +1]         D[+1 ,0 , 0]         E[+2 ,-3 , +1]         F[+1 ,0 , +1]         G[+1 ,-1 , 0]         H[+1 ,-2 , 0]         I[0 ,+1 , +1]         J[+3 ,-3 , +1]         K[0 ,0 , +1]         L[0 ,+3 , +1]         M[+1 ,-3 , +1]         N[+2 ,0 , +1]         O[+4/3 ,-1 , +1] ADGHCFGIBEHIBGJKCHJLAIKLABFMDEJMACENDFKNBCDOEFLO 如果我们还是选择将A,B,C,D四个点映射到B,C,A,E四个点，由于B,C,D三点共线，会无法确定变换阵。 改为选择将A,B,D,E四点映射为B,C,E,F四个点就可以确定变换阵 [0.59282948482367423891727073754427167336 0.41097554549505400499059196851263685982 -0.41097554549505400499059196851263685982] [0.077703420651795571231892964607012370063 -0.027290000172777192498707919332839992484 0.36062333350611052583204125266617332582] [-0.15540684130359114246378592921402474013 0.054580000345554384997415838665679984968 0.27875333298777894833591749466765334837] 得到图片

 670#第二组         A[0 ,0 , +1]         B[+1 ,0 , 0]         C[+1 ,+1 , 0]         D[0 ,+1 , +1]         E[0 ,+1 , 0]         F[+1 ,0 , +1]         G[+1 ,-1 , 0]         H[-1 ,-1 , +1]         I[0 ,-1 , +1]         J[-1 ,+1 , +1]         K[-1 ,0 , +1]         L[+1 ,-1 , +1]         M[+1/2 ,+1/2 , +1]         N[+2 ,+1 , +1]         O[+1 ,+2 , +1] BCEGADEIABFKEHJKBHILAGJLDFGMACHMCFINBDJNCDKOEFLO 变换矩阵: [0.28867513459481288225457439025097872782 -0.28867513459481288225457439025097872782 0] [-0.16666666666666666666666666666666666667 -0.16666666666666666666666666666666666667 0.33333333333333333333333333333333333333] [0.33333333333333333333333333333333333333 0.33333333333333333333333333333333333333 0.33333333333333333333333333333333333333] 对称图有三个无穷远点

 请问能将10到12点的方案也绘制下吗？ 我花了相当多的时间来绘制类似这种图形，试图找出其中的一般性规律，但是并没有成功；不过倒是发现了其他一些比较有趣的结论，比如，10点的方案可以有6种不同的绘制方法，这六种方法在一个多世纪前就发现了。根据Boroczky arrangement可以绘制(k*k_3,3*k_k)构型。等等。

### 点评

10~12点都含有1~2个自由度，也就是有些点可以自由移动（不改变其它点的位置），这也是为什么没有给出精确的图，因为可以有无穷种画法（把可以通过射影变换相互转化的看成同一种）  发表于 2020-1-23 18:40

 记录一下，Wayne已经把16棵树以下所有实数范围最优解计算出来了： https://blog.emath.ac.cn/shared/

 所有存在的解 都计算了一遍，做了分类和个数统计，整数解，实数解，复数解, 无穷解(不定方程)。带有后缀.out.txt的是 具体的坐标值(射影空间)。 由于是纯文本展示，数据比较多，所以查看内容的方便法门就是 搜索关键词 与 鼠标双击 选中整行。 由于涉及到公式的展示，折腾了很久，感觉还是文本格式最好，而文本格式又没法统一起来，所以干脆就采用Mathematica的输入格式，如果是Mathematica用户，直接复制粘帖就能拿来用。 https://blog.emath.ac.cn/shared/ Mathematica处理代码也放上去了：https://blog.emath.ac.cn/shared/20.nb

### 点评

 我昨天在Ubuntu上将102楼15棵树的情形跑了下，耗时1.5小时，生成的临时文件和最终文件有1.5GB,运行时消耗的内存很少。由于装的双系统，Ubuntu下的硬盘空间很小，不清楚在16颗树到20颗树下会需要多大的剩余磁盘空间。

 那个代码版本比较旧了，后面有多次更新。 https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... mp;page=36#pid23066 里面是一个过滤算法的更新。 https://bbs.emath.ac.cn/thread-2007-1-1.html 里面也有相关信息，不过代码都不能下载了。 但是网站里面应该还有一些更新一点的代码 硬盘空间当然大一些好，但是如果硬盘不是太大，问题也不大，我们还有过滤算法，可以将一些非法解提前过滤，时间换空间 另外看260#当时估计，更新以后算法计算到20棵树大概是10G硬盘空间。当时10年前设计的代码，对内存和硬盘的要求都不会太高

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GMT+8, 2021-5-17 09:02 , Processed in 0.065948 second(s), 18 queries .